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高階導関数について
参考書の高階導微分のところに『F(x)=X^n (n:自然数)のとき…F^(n)(x)=(x^n)^(n)=n!』とあったのですが、理解できませんでした。 例えばF(x)=3x^3+7x^2-5x+20などといった式を2階導微分するときはどのようにあてはめるのでしょうか？ また累乗の部分が分数やマイナスの数のときは高階導微分はできないのでしょうか？ よろしくお願いします。
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- koko_u_
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>F^(n)(x)=(x^n)^(n)=n!』とあったのですが、理解できませんでした。 一般の n で理解できない場合は、まずは n = 1, 2, 3 と具体的に計算して下さい。 >といった式を2階導微分するときはどのようにあてはめるのでしょうか？ 特にあてはめる必要はなく、普通に 2回微分すればよいでしょう。 >累乗の部分が分数やマイナスの数のときは高階導微分はできないのでしょうか？ 実際にやってみれば解決します。
お礼
ご回答ありがとうございます。 単純に2回微分して次数を下げていけばいいわけですね。 ホント高校の時にちゃんと授業受けてれば良かったです…
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
> 『F(x)=X^n (n:自然数)のとき…F^(n)(x)=(x^n)^(n)=n!』 > とあったのですが、理解できませんでした。 「^(n)」はn階微分、つまりn階微分する記号のようですね。 > 例えばF(x)=3x^3+7x^2-5x+20などといった式を2階導微分するときはどのようにあてはめるのでしょうか？ 例が適当ではありません。参考書の公式の例なら F(x)=1の場合 F(x)=F^(0)(x)=0! F(x)=xの場合 F^(1)(x)=F'(x)=1=1! F(x)=x^2の場合 F''(x)=F^(2)(x)=2=2! F(x)=x^3の場合 F'''(x)=F^(3)(x)=(3x^2)''=3*2(x')=3! などのような例が良いでしょう。 > また累乗の部分が分数やマイナスの数のときは高階導微分はできないのでしょうか？ 上の公式はx^nをn回微分した場合の公式ですから、質問のポイントがずれていませんか？ n=-2のとき F(x)=x^(-2) となりますがF(x)を「-2」回微分したり n=2/3のとき F(x)=x^(2/3) に対してn=2/3回微分して 意味がありますか？ x^kをn回微分することとこんがらかって見えるようですね。
お礼
丁寧な解説ありがとうございます。 普通にその公式を使わずF(x)=3x^3+7x^2-5x+20を2回微分するとF"=18x+14ということですよね。 > また累乗の部分が分数やマイナスの数のときは高階導微分はできないのでしょうか？ これは『以下の関数に対しF'(1)、F'(2)を求めよ』とあったのですが、後者の方は2回微分しろという意味ではないのでしょうか。 確かに参考書には『F"(x)tとかF^(2)(x)と表す』と書いてあってF'(2)という書き方は無いようですが…
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