• 締切済み

対称でユニタリーな行列の固有ベクトル

対称でユニタリーな行列の固有ベクトルが実ベクトルに選べることを示さなければならないのですが， 実ベクトルであることではなくて，実ベクトルに\"選べる\"ことを示さなければなりません． 直交するところまではわかるのですが，それが実ベクトルに選べる可動化までの証明ができません． よろしくお願いします．

みんなの回答

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.1

U・x=λ・x ならば xの共役yについても U・y=λ・y となることを補足に示せ

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 【対称行列の固有ベクトル】

    【対称行列の固有ベクトル】 対称な行列の固有ベクトルは，完全に直交しますか？

  • 行列の固有ベクトルについて質問です

    対称行列を対角化するにあたって，対称行列の固有ベクトルについて次のように教科書に記述があります． 「対称行列の異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交する」 この記述によれば，異なる固有値から得られる固有ベクトルは必ず互いに直交しますが，固有値が重解となったときに同じ固有値から2つの固有ベクトルが得られる問題がありました． このとき，この得られた2つの固有ベクトルは互いに直交していないのでしょうか？ つまり，「同じ固有値から得られた固有ベクトルは絶対に直交しない」のでしょうか？ わかりにくい質問ですが，どなたか詳しい回答よろしくお願いします．

  • 対称行列の固有ベクトル

    対称行列の固有ベクトルは互いに垂直という性質がありますが、 固有ベクトル AX1＝λ1 X1、 AX2＝λ2 X2 の式から ｎ次の対称行列Aは次のように書き表すことができます A＝ λ1 X1 X1^t ＋λ2 X2 X2^t＋ ・・・ ＋λn Xn Xn^t なぜ固有ベクトルの式から対称行列の式が表すことができるのでしょうか？ 証明を教えてください。よろしくお願いします。

  • ユニタリー行列

    行列の対角化の問題でユニタリー行列を求めるとき、固有ベクトルを求めてから組み合わせて作ると思うのですが、組み合わせる順番はどのように決まっているのでしょうか？教えてください。お願いします。

  • 正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する？

    Ａを正規行列とすると適当な対角行列Λと適当なユニタリ行列Ｕが存在してＵ＾＊・Ａ・Ｕ＝Λである λとμを異なる固有値として Ｕの列ベクトルでありλの固有ベクトルであるベクトルが張るベクトル空間をＰとし Ｕの列ベクトルでありμの固有ベクトルであるベクトルが張るベクトル空間をＱとしたとき ＰとＱは直交しλの固有ベクトルはＰの元でありμの固有ベクトルはＱの元であるから「λの固有ベクトルとμの固有ベクトルは直交する」 上の証明について質問します （１）結論は正しいですか？ 正しければ （２）証明に穴はありますか？ あれば （３）どのように証明したらいいでしょうか？

  • 行列の固有ベクトルについて

    線形代数を勉強しています。 ある行列の固有ベクトルが、異なるものが二つ存在したとします。 その固有ベクトルは必ず互いに直交しますか？ テキストには直交する例のみ載っているのですが、 直交しない場合も想像出来るので、悩んでおります。

  • 対称行列 固有値

    次の２問をお願いします。 （１）Ａを２次の対称行列とする。Ａの二つの固有値が一致するならばＡ=λIであることを示せ。 （２）Ａを２次の対称行列とする。またλをＡの固有値、vベクトルをλに対するＡの固有ベクトルとするとき、wベクトル＝Ｒ(π／2)vベクトルはＡのもう一方の固有値に対する固有ベクトルであることを示せ。 Ａ＝ a b vベクトル＝v1 c d v2 と成分表示する。 見づらいと思いますが、よろしくお願いします。

  • 行列の固有値、及び直交化問題

    (1)対称行列の固有値は、なぜ実数なのですか? (2)対称行列を対角化する行列は、直交するベクトルで構成された行列に限られるのでしょうか？だとしたら、それはなぜですか?

  • 3×3行列の固有値と固有ベクトル

    以下の行列Aの固有ベクトルを求めようとしているのですが,解を見つけられないでいます. 2　1　0 1　2　0 0　0　-2 計算を進めた結果,固有値λは3,1,-2となり,λ=3,1に対応する固有ベクトルはそれぞれ[1,1,0]t,[1,-1,0]tとなったのですが,λ=-2の場合で求めた固有ベクトル[1,1,k]t(kは任意の実数)がAx=λxに対応しない値になってしまいます.私の計算に何か問題があるのでしょうか? また,行列Aは対称行列なのでそれぞれの固有ベクトルの内積は0になると思うのですが,固有ベクトルの値が得られないことと何か関係があるのでしょうか? 回答よろしくお願いします.

  • 対称行列の固有値

    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97 で、エルミート行列の固有値は実数となると書いてあったので、まずは実対称行列の固有値について、これが言えるかどうかを調べてみようと証明を試みたのですが、実対称行列の固有値でさえうまく証明できそうにありません。 どなたかお知恵を貸していただけると幸いです。宜しくお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する