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順序集合について…
Ａが全順序集合ならば、Ａの最大元と極大元の最小元と極小元の概念は一致することを示せ。 という問題なのですが、 つまり最大元(最小元)⇒極大元(極小元)これは、定義より当たり前なので 極大元(極小元)⇒最大元(最小元)これを示せばいんですよね。 ここが問題で、私にはこの最大元(最小元)と極大元(極小元)の違いがよく分かりません。詳しく教えてくれませんか？
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- Tacosan
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- Tacosan
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「比べられる」って, 「何と何が」比べられると言っているの? もっと正確に「全順序である」ことを言えませんか?
補足
すいませんよく分からないです。 教えてもらえませんか？
- Tacosan
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「全順序」の意味はわかりますか?
補足
比べられるって事ですよね？
- ojisan7
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>最大元と極大元の違いがよく分かりません Aのどの元よりも大きいAの元をAの最大元といいます。 Aの元であって、それよりも大きいAの元がない場合、その元をAの極大 元といいます。 よく似ていて分かりにくいですね。具体例として、（自明でない） イデアルの包含関係を考えれば、わかりやすいと思います。
補足
なんとなく理解できました。 ですが、なぜ全順序集合の場合だと、最大元＝極大元になるのですか？
- Tacosan
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補足
すごくわかりやすかったです。説明ありがとうございます。 最後に、背理法を使っての証明なんですが、これは「極大値は最大値でもある」っていうのを否定して導き出すんですよね？