大学院入試の過去問題

質問

0　<= x <= 2π　，0 <= y <= 2πのとき、次の軌跡を求めよ。
(1)　sin(x+y) = sinx +siny

この問題の考え方を教えてください。お願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

sin(x + y) = sin(x) + sin(y) - 4 sin(x/2) sin(y/2) sin((x + y)/2)
を示して
sin(x + y) = sin(x) + sin(y)　⇔　sin(x/2) sin(y/2) sin((x + y)/2) = 0
より sin(x/2) sin(y/2) sin((x + y)/2) = 0　を解く

とか、

sin(x + y) = 2 sin((x + y)/2) cos((x + y)/2)
sin(x) + sin(y) = sin((x + y)/2 + (x - y)/2) + sin((x + y)/2 - (x - y)/2) = 2 sin((x + y)/2) cos((x - y)/2)
∴
sin(x + y) = sin(x) + sin(y)
⇔　sin((x+y)/2) cos((x + y)/2) = sin((x + y)/2) cos((x - y)/2)⇔　sin((x + y)/2) { cos((x + y)/2) - cos((x - y)/2) } = 0
⇔　sin(x/2) sin(y/2) sin((x + y)/2) = 0

以上、数Aの解き方ですが、x = 0, 2π,　y = 0, 2π, x + y = 0, 2π, 4π （重複はそのままにしてます）より正方形の辺上と一本の対角線上ですね。

お礼

細かい説明までありがとうございます。

回答No.5

info22

考え方はすでに皆さんがやられていますので
参考にして下さい。
ここでは陰関数のグラフを描く方法で軌跡を描くと
複数の直線の集まりになることが分かります。
0　<= x <= 2π　，0 <= y <= 2πですから、答えは
x=0 (0 <= y <= 2π),
x=2π (0 <= y <= 2π),
y=0 (0 <= x <= 2π),
y=2π (0 <= y <= 2π),
x+y=2π (0 <= x <= 2π)
ということが直ぐ分かります(フリーソフトのGRAPESなどを使えば陰関数のプロットが可能です)。

1つの方程式にまとめると軌跡の方程式は
xy(2π-x)(2π-y)(2π-x-y)=0
と表せます。

お礼

ありがとうございました。GRAPESさがしてみます。

回答No.4

take_5

例によって計算ミス。

＞［cos{(x+y)/2}-cos{(x-y)/2］＝-2*sin（x/4）*sin（y/4）＝0　‥‥(5)

　　　　　　　↓
［cos{(x+y)/2}-cos{(x-y)/2］＝-2*sin（x/2）*sin（y/2）＝0　‥‥(5)

従って
＞0≦x/4≦π/2、0≦y/4≦π/2より(5)は　x/4＝0、or、y/4＝0.

　　　　　　　　↓

0≦x/2≦π、0≦y/2≦πより(5)は　x/2＝0、π、or、y/2＝0、π.

回答No.2

take_5

＞大学院入試の過去問題

嘘だろう。大学入試の過去問題の間違いだろう？　こんなの高校生の教科書の例題みたいなもんだよ。

0≦x≦2π、0≦y≦2π　‥‥(1)
sin(x+y)＝2sin{(x+y)/2}*cos{(x+y)/2}‥‥(2)。sinx +siny ＝2*sin{(x+y)/2}*cos{(x-y)/2}‥‥(3)
(2)と(3)より　2*sin{(x+y)/2}*［cos{(x+y)/2}-cos{(x-y)/2］＝0となるから、sin{(x+y)/2}＝0、‥‥(4)、
or、［cos{(x+y)/2}-cos{(x-y)/2］＝-2*sin（x/4）*sin（y/4）＝0　‥‥(5)

以上から、求める軌跡は、(1)の範囲の中で、
0≦（x+y）/2≦2πより、(4)は(x+y)/2＝0、π、2π。
0≦x/4≦π/2、0≦y/4≦π/2より(5)は　x/4＝0、or、y/4＝0.

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

tono-todo

sin(x+y)を分解して、x,yで整理したら良いのでは？