オイラーの公式

質問

複素平面についてつい最近から学習を始めた者なのですが、オイラーの公式について、i（j）が反時計回り90度の役割を持つということは何となくわかったのですが、どうして「e^(iθ)」のように自然対数の底が現れるのかがまったくわかりません。ことごとく分かりやすく説明してはいただけないでしょうか？

回答No.1

proto · ベストアンサー

複素数の積が原点中心の回転を表すことの証明は、三角関数を使った極座標表示を用いた方が原始的。
複素数z,wをそれぞれ
　　z = r{cos(θ)+i*sin(θ)}
　　w = R{cos(φ)+i*sin(φ)}
とすると、その積は
　　zw = rR{(cos(θ)*cos(φ)-sin(θ)*sin(φ))+i*(sin(θ)*cos(φ)+cos(θ)*sin(φ))}

加法定理より
　　cos(θ)*cos(φ)-sin(θ)*sin(φ) = cos(θ+φ)
　　sin(θ)*cos(φ)+cos(θ)*sin(φ) = sin(θ+φ)
だから、
　　zw = rR{cos(θ+φ)+i*sin(θ+φ)}
となる。
これはzを原点中心にφだけ回転させR倍に拡大したものや、wを原点中心にθだけ回転させr倍に拡大したものに等しい。

特にr=1のときには拡大されない(1倍では元と変わらない)ので、z={cos(θ)+i*sin(θ)}を掛けることは純粋にθだけ回転させることに等しい。

このように複素数の積が回転を表すこと自体は虚数単位iの性質と三角関数の加法定理に由来し、オイラーの公式は直接は関係ありません。

ところが実際、|e^(iθ)|=1で
　　e^(iθ) = {cos(θ)+i*sin(θ)}
となることが証明できるので、結局e^(iθ)を掛けることも回転を表すことになります。
複素数を絶対値と指数関数で表す書き方を、指数表示とか指数極座標表示とか言います。
こちらの書き方の方が、先ほどの証明は簡単で、
　　z = r{cos(θ)+i*sin(θ)} = r*e^(iθ)
　　w = R{cos(φ)+i*sin(φ)} = R*e^(iφ)
とすると、指数法則より
　　zw = rRe^(iθ)*e^(iφ) = rRe^(iθ+iφ) = rRe^(i(θ+φ))
となります。
こっちの書き方の方がいろいろ便利なので、大学以降は指数表示の方がよく使われるようです。

さてオイラーの公式(e^(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ))自体の証明は、厳密には難しい話になりますが、簡単にはマクロリン展開を用いて証明されます。
e^x,sin(x),cos(x)をそれぞれマクロリン展開すると
　　e^x = 1 +x +(x^2)/2 +(x^3)/6 +(x^4)/24 +(x^5)/120 +…
　　sin(x) = x -(x^3)/6 + (x^5)/120 -…
　　cos(x) = 1 -(x^2)/2 + (x^4)/24 -…
ここで、最初の式にx=iθを代入し、残りの二つの式にx=θを代入してcos(θ)+i*sin(θ)を計算すると
　　e^(iθ) = 1+iθ -(θ^2)/2 -i(θ^3)/6 +(θ^4)/24 +i(θ^5)/120 -…
　　cos(θ)+i*sin(θ) = 1+iθ -(θ^2)/2 -i(θ^3)/6 +(θ^4)/24 +i(θ^5)/120 -…
各項の係数を比べる事により
　　e^(iθ) = cos(θ)+i*sin(θ)
とわかりました。
これが指数関数と三角関数が結びつく理由です。マクロリン展開したときの形が似ているんですね。

お礼

まだ序論的な段階なのでマクローリン展開の産物として飲み込んでおきます。ありがとうございました（＾＾）