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数列の漸化式の問題なんですが、
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力技で解いてみると、 a1 = 1 a2 = 1x1 + 2 a3 = 2x(1x1 + 2) + 2 a4 = 3x(2x(1x1 + 2) + 2) + 2 a5 = 4x(3x(2x(1x1 + 2) + 2) + 2) + 2 ということは、 a5 = 4x3x2x1x1 + 4x3x2x2 + 4x3x2 + 4x2 + 2 ということは、 a5 = 4! + 2Σ^4_{i=1}(4!/i!) てとこでしょうか? そうすると一般項は an = (n-1)! + 2Σ^{n-1}_{i=1}((n-1)!/i!) となりそうですね(ただし、 0! = 1)。 ほんとかな? ためしに、 a(n+1) = an x n + 2 = n! + 2Σ^{n-1}_{i=1}(n!/i!) + 2 で、i = n のとき (n!/i!) = 1 だから、 = n! + 2Σ^n_{i=1}(n!/i!) となって正解くさいですね。 Σ使わずに表現できるのかな?
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- Astone
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aのn項目をa[n+1]としましょう。 punchan_jpさんの式は まず問題の a[n+1] = n * a[n] + 2 の式の両辺を n! で割り b[n] = a[n] / (n-1)! と置くと b[n+1] = b[n] + 2/(n)! となって Σを使えば b[n] の一般項が表現できますから それに (n-1)! をかけてやれば でてくるようです。 その式の中に出てくる (n! を 1からnまでの整数の階乗で順に割ったもの)を全部足したもの という関数について今考えていますが これを c[n] と書くと c[n] = n * c[n-1] + 1 となるようです。 この式は良く考えてみると a[n+1] - 2*c[n] = n * (a[n] + 2*c[n-1]) = n! という風に a[n] と関係付けられていて、 この方法でΣを使わずに漸化式が出るような気がしません。
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本当にありがとうございます。おかげで、ずっと悩んでいた事が解決できました。
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本当にありがとうございます。もし、Σを使わずに表現できたり、他に、違う方法がありましたら、是非教えて下さい。