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数列の漸化式の問題なんですが、

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お礼率 100% (2/2)

どうも初めて質問します。              僕は、高校の数学教師を目指している者です。     教員採用試験の問題をしていて、どうしてもわからないので、教えてください。(回答が無いのです。)                               初項が1で、n+1項がn項をn倍して2をたしたもの    これの一般項を求める問題です                                         どうか、よろしくお願いします。
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  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 55% (155/280)

力技で解いてみると、
a1 = 1
a2 = 1x1 + 2
a3 = 2x(1x1 + 2) + 2
a4 = 3x(2x(1x1 + 2) + 2) + 2
a5 = 4x(3x(2x(1x1 + 2) + 2) + 2) + 2
ということは、
a5 = 4x3x2x1x1 + 4x3x2x2 + 4x3x2 + 4x2 + 2
ということは、
a5 = 4! + 2Σ^4_{i=1}(4!/i!)
てとこでしょうか?
そうすると一般項は
an = (n-1)! + 2Σ^{n-1}_{i=1}((n-1)!/i!)
となりそうですね(ただし、 0! = 1)。
ほんとかな?
ためしに、
a(n+1) = an x n + 2 = n! + 2Σ^{n-1}_{i=1}(n!/i!) + 2
で、i = n のとき (n!/i!) = 1 だから、
= n! + 2Σ^n_{i=1}(n!/i!)
となって正解くさいですね。
Σ使わずに表現できるのかな?
お礼コメント
jigen3

お礼率 100% (2/2)

本当にありがとうございます。もし、Σを使わずに表現できたり、他に、違う方法がありましたら、是非教えて下さい。
投稿日時 - 2001-02-14 22:37:21
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2
レベル3

ベストアンサー率 0% (0/1)

aのn項目をa[n+1]としましょう。 punchan_jpさんの式は まず問題の a[n+1] = n * a[n] + 2 の式の両辺を n! で割り b[n] = a[n] / (n-1)! と置くと b[n+1] = b[n] + 2/(n)! となって Σを使えば b[n] の一般項が表現できますから それに (n-1)! をかけてやれば でてくるようです。 その式の中に出てくる ...続きを読む
aのn項目をa[n+1]としましょう。
punchan_jpさんの式は
まず問題の a[n+1] = n * a[n] + 2 の式の両辺を n! で割り
b[n] = a[n] / (n-1)! と置くと
b[n+1] = b[n] + 2/(n)! となって
Σを使えば b[n] の一般項が表現できますから
それに (n-1)! をかけてやれば
でてくるようです。
その式の中に出てくる
(n! を 1からnまでの整数の階乗で順に割ったもの)を全部足したもの
という関数について今考えていますが
これを c[n] と書くと
c[n] = n * c[n-1] + 1
となるようです。
この式は良く考えてみると
a[n+1] - 2*c[n] = n * (a[n] + 2*c[n-1]) = n!
という風に a[n] と関係付けられていて、
この方法でΣを使わずに漸化式が出るような気がしません。
お礼コメント
jigen3

お礼率 100% (2/2)

本当にありがとうございます。おかげで、ずっと悩んでいた事が解決できました。
投稿日時 - 2001-02-15 21:25:43


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