はさみうちの定理の問題

質問

(1)lim_[n→∞]n/3^n

(2)lim_[n→∞]2^n/n!

という問題があるのですが全く解き方がわかりません
(1)は二項定理を使ってn≧2となるらしいですがなぜこうなるのかすらわかりません

(2)はn≧3になるらしいですがよくわかりません

lim_[n→∞]1/n・cosnθのような問題は解けるのですが上のような問題になると手も足も出ません
どうすれば解けるのでしょうか？おねがいします

回答No.5

debut · ベストアンサー

ｃを定数として　０＜n/3^n＜c/n とかの形に持ち込めれば
n→∞のとき右辺→０は明白だから、n/3^n→０といえる。
そして、二項定理で（a＞0のとき)
(1+a)^n=1+nC1*a+nC2*a^2+nC3*a^3+・・・・+a^n
　　　　=1+an+a^2n(n-1)/2+a^3n(n-1)(n-2)/6+・・・+a^n
だから、前３項だけを考えれば
（余計につく項がなくなるので当然）
(1+a)^n≧1+an+a^2n(n-1)/2　とできる。
さらに、
(a=2なら）1+an+a^2n(n-1)/2[=a^2n^2/2+(2a-a^2)n/2+1]＞a^2n^2/2
とできる。
そして逆数をとれば、1/(1+a)^n＜2/(a^2n^2)とできるから、
０＜n/3^n＜c/n の形に持ち込める。
ということですね。

(2)の方は、n≧3のとき、
2^n/n！＝(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*(2/5)*・・・*(2/n)だから
(2/3)以降の分母をすべて３にしてみれば
(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/3)*(2/3)*・・・・*(2/3)　←2/3をn-2個
だから、当然、(2/3)以降の(2/4)、(2/5)、・・・・、(2/n)の
それぞれはすべて(2/3)より小さいわけなので
(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*(2/5)*・・・*(2/n)
＜(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/3)*・・・・*(2/3)＝2(2/3)^(n-2)
といえます。すれば、n→∞で(2/3)^(n-2)→０が使えて・・
ということです。

お礼

詳しい解説ありがとうございます

回答No.6

narucross

結局解決されましたでしょうか。
私の後の＃５さんの解答は、より一般的に細部に至る計算まで記されていますのでそちらの方で理解できると思います。
おせっかいなアドバイスですが、＃５さんの解答を読んで理解できないようであれば、もう少しレベルを落としたものを解かれてはどうでしょうか。力になれずにすみません。

回答No.4

narucross

入力したものが消えてしまったので気を取り直してもう一度打ちます。
ふぅ。

>(1)は二項定理を使ってn≧2となるらしいですが
>(2)はn≧3になるらしいですが
何を意味しているのかよく分かりません。文の主語と述語を確認して投稿しましょう。
それぞれ、n≧2、n≧3の条件下で考えるものと受け取っておきます。

(1)0に近づきそうだという予測は容易にできますね。
0<n/3^n<n/2^n
ここで、2^n=(1+1)^n=nC0+nC1+nC2+....
例の条件から、>nC2=n(n-1)/2

つまり、n/2^n<n/(n(n-1)/2)=2/(n-1)
ここまでくれば、大丈夫そうです。はさんであげれば、0に追い込めますね。

(2)これもやはり、0に近づきそうです。
2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*(2/5)*(2/6)*.....*(2/n)
例の条件から、<(2/1)*(2/2)*(2/3)^(n-2)
ここまでくれば、いけそうです。やっばり挟んであげれば、0に追い込めます。

この手の問題は知らないとしんどいものが多いですが、ああでもないこうでもないと式をいじくってみて考えてみてください。
なぜこの解き方なのかというと、こうやったら、はさみうちでうまく追い込むことができるから。というだけのもんです。ほかの解き方でもうまくいくなら、全然問題ありません。しかし私はほかのやり方を知らないもので。
以上参考になれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます
しかし自分の学力では理解できないのでつけたしさせてもらいます
申し訳ありません

＞何を意味しているのかよく分かりません。文の主語と述語を確認して投稿しましょう。
それぞれ、n≧2、n≧3の条件下で考えるものと受け取っておきます。

質問がうまく伝わらなかったので以下に解答をそのまま書きます
(1)の場合ですが
3^n=(1+2)^n
=1+nC1・2+nC2・2^2+…+nCk・2^k+…+2^n
なのでn≧2のとき
3^n≧1+2n+4・n(n-1)/2＞2n^2
したがって0＜n/3^n＜n/2n^2

となると書いてあるのですが二項定理を使って3^nを別の形に変えてるようですがなぜこのような作業をするのでしょうか？
あと何ではさみこめばいいのかわかりません。

(2)の場合は
n≧3のとき
0＜2^n/n!=2*2*2…*2/1*2*3*4…*n＜2(2/3)^n-2

となってるのですがこちらは解答を読んでもまったく理解できません

もしまたこの質問を見てくれたなら解説をお願いします。

回答No.3

miomiov

（１）のみ考えてみたのですが、、

はさみうちではなく普通にけいさんすればよいと思いますよ。
３＾ｎ＝（１＋２）＾ｎ
　　　＝１＾ｎ＋ｎ＊１＾（nー１）＊２＾１＋・・・・
　　　＝１＋２ｎ＋・・・・
だから、ｎで割ると２以上になりますよね。
ただこの理論だとｎ＝１のときを無視してますので気を付けてください
。
でも、limの問題で、答えが範囲で出るのってちょっと謎です。

お礼

回答ありがとうございます
よくわからないのですがしばらくじっくり考えて見ます

回答No.2

narucross

>(1)は二項定理を使ってn≧2となるらしいですが
>(2)はn≧3になるらしいですが
何の事を言っているのか分かりません。主語と述語を確認して投稿しましょう。推測ですが、(1)(2)をそれぞれ、n≧2、n≧3の条件のもとで考えろということでしょうか。

(1)分母が指数関数、分子が整関数だから、0に近づくことは容易に予想できますね。はさみうちで0に追い込むことを考えます。
0<n/3^n<n/2^nとしてみます。
二項定理より、2^n=(1+1)^n=nC0+nC1+nC2+.....
さらに、n≧2として、>nC2=n(n-1)/2
つまり、n/2^n<n/(n(n-1)/2)=2/(n-1)
よって、0<n/3^n<2/(n-1)で、ｎを無限大に飛ばすと、0に追い込むことができます。

(2)これも0に近づきそうです。
2^n・n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*(2/5)*(2/6)*(2/7)*...*(2/n)
n≧3の条件があるものとすると、
　　　 < 2 *(2/3)^(n-1)
これではさみうちを使ったら0に追い込めそうですね。

この手の極限の問題は、知らないとどうにもならないことが多いですが、式をああでもないこうでもないといじくっていみることが大切です。参考になれば幸いです。

回答No.1

koko_u_

>(1)は二項定理を使ってn≧2となるらしいですがなぜこうなるのかすらわかりません
私もサッパリですわ。

n → ∞ の極限だから、十分大きな n についての挙動を知ればよいです。

お礼

回答ありがとうございます
しばらく考え込んでみようと思います