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なにか良い証明方法はありませんか？
「２つのさいころを振って６の目を出そうとするならそれは２４回でも不利である」 という証明を行いたいのですが、電卓で行ってはいけないと言われて”手計算で”できる証明がしたのですがなにか良い証明方法はありませんか？ (35/36)^24 > 1/2 まで持ってこれたらあとは簡単なんだと思うのですが・・・。 自分なりに考えてみたのは対数を使うものなのですが全く分かりませんでした。 補足 これは１６５４年にパスカルからフェルマーへの手紙の一文なんだそうです。（たぶんここがポイントではないと思われますが・・） パスカル、フェルマーについての本が出版されているとか少しでもヒントになりそうな本とか定理とかあればお願いします。
- kamema
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＃２の補足に対する回答です。 単にlogと書いた場合、(1)常用対数（底＝10）と(2)自然対数（底＝e）があります。指数/対数に関する理論ではなくて、単に「積の対数は対数の和」という関係を使って「計算の道具」として使いたい場合には、常用対数を使います。 今回の場合は、単なる計算の道具ですから、e=2.71828.. は、まったく無関係だとお考えください。
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- arrysthmia
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全面謝罪： 申し訳ありません。No.3 は、笑って忘れてください。 我ながら、寝ぼけていたとしか…
お礼
いえいえ回答していただけるだけで十分感謝しております。 またわからないとこがあればお願いします。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
確率の話は、自力で終わっているんですね。 1 - (25/36)^24 ＜ 1/2 を示すだけなら、 36^24 ＝ (1 + 35)^24 ＝ Σ[k=0…24] (24Ｃk) 35^k ＜ (24Ｃ22)(35^22) + (24Ｃ24)(35^24) ＝ 2024・(35^22) + 1・(35^24) ＜ (35^2)(35^22) + (35^24) ＝ 2・(35^24) など、どうでしょう。 ご希望通り、二項定理（パスカルの三角形）です。
- Ishiwara
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基礎となる公式 logAB=logA+logB logA^B=BlogA を使います。（↑絶対記憶のこと） (35/36)^x=1/2 x(log35-log36)=log(1/2) x=(log1-log2)/(log5+log7-2log6) を計算してください。
補足
回答ありがとうございます。 (log1-log2)/(log5+log7-2log6)の続きなんですが、 log2=x1 log5=x2 log7=x3 log6=x4として 2.7182818...^x1=2 2.7182818...^x2=5 2.7182818...^x3=7 2.7182818...^x4=6 と置けると思うのですが、これの手計算での計算方法がわかりません。 他にいい方法ありますか？ 何度も何度もすいません。 お願いします。
- xs200
- ベストアンサー率47% (559/1173)
不利であるの定義が不明です 2つ合わせて6の目またはどちらかが6の目なら結構出ますが? 6のぞろ目じゃないですか??? それなら 36^24-35^24と"不利"という条件を比較すればいいだけです
お礼
疑問を出してから真っ先に回答してくださってありがとうございます。 不明な点などを教えてくれたおかげで結構たくさんの回答が寄せられたように思います。 ありがとうございました。
補足
解答ありがとうございます。 もうしわけありません。 不利であるの定義は1/2よりも大きいか小さいかという意味です。 1回だけ二つのさいころを振ったときに同時（ぞろ目）に６の目がでない場合は35/36であり、 24回二つのさいころをふったときに同時に６の目がでない確率は(35/36)^24であり、 したがって24回二つのさいころをふったときに同時に６の目がでる確率は1-(35/36)^24 1-(35/36)^24 < 1/2 であるので不利だという意味です。 > (35/36)^24 > 1/2 まで持ってこれたらあとは簡単なんだと思うのですが・・・。 の意味は (35/36)^24 > 1/2 が導きれば 1-(35/36)^24 < 1/2 を出すのは簡単だと思うという意味です。 他に思いついたのは {1-(1/36)}^24 で無限か数列（高校の分野）かでなにかいい証明方法があったように思うのですが・・やはりわかりません。 本当に考えてもわからないのでお願いします。
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お礼
回答ありがとうございます。 常用対数の場合、lnと教えてもらっていたので勘違いしていました。 申し訳ないのですが、うまい解答が他に見つかりました。 Ishiwaraさんの回答も無駄にはせずこれからの糧になるように参考にさせていただきます。 知らない他人の人なのに・・・ 本当に心から感謝しております（*^_^*） ありがとうございました。