多項式の割り算のxの範囲について

質問

高校でF(x)=(x-1)Q(x)+Rのような多項式の割り算がでてきますよね。
たとえば、RをもとめるにはF(1)の値がわかれば求まりますが、これは隠れた前提として
∀x∈Rについてがんがえてると考えていました。
しかし、x^nなどの多項式の割り算では複素数を代入し、「複素数範囲」で考えていることを匂わせているものがあります。(x^200をx^2-x+1で割った余りをもとめよ)
このように明確に前提を定めずに問題が成り立つことはあるのでしょうか。(実際∀x∈Rならば複素数を代入して考えるのは議論として不適当ではないでしょうか)

もしかしたらですが、以前多項式と多項式環の議論がありましたがそれとは関係してるのでしょうか。

回答No.2

koko_u_

>よかったら、もう少し教えていただけるとうれしいです。
じゃあ、もう少し。

>つまり多項式の演算体系は一般の数の演算体系とは別にちゃんと定義されているのでしょうか。
そうです。
多項式の全体 R[x] には実数とは「別に」加算、乗算 が定義されています。
それは貴方が知っているものと同一です。

x+1 ∈ R[x] と x^2+x ∈ R[x] を「足し算」して x^2+2x+1 ∈ R[x] を得ているのは
実数とは別の世界の話です。

「代入」という操作がこの多項式の世界と実数の世界を接続しています。
つまり各実数 a ∈ R に対して、写像

φ_a : R[x] -> R ( f(x) -> f(a) )

が定義できます。これも貴方が知っている代入という操作と同一です。

R[x] の加算と乗算が「うまく定義されている」ために

φ_a(f+g) = φ_a(f) + φ_a(g)
φ_a(fg) = φ_a(f)φ_a(g)

であることがわかりますね。つまりφ_a は「演算も含めて R[x] と R と接続している」のです。

複素数でもまったく同じ話で、この「代入」は複素数上の多項式全体 C[x] に対しても定義できて

φ_z : C[x] -> C ( f(x) -> f(z) )

ですね。

さて、今 R[x] で等式 f(x) = g(x)(x-1) + r が成立したとすれば、φ_a は演算を保存するので
φ_a(f) = φ_a(g)φ_a(x-1) + φ_a(r) です。これを書き直せば、よく見る

f(a) = g(a)(a-1) + r

という、代入した結果の式になります。

しかるに、R[x] での等式 f(x) = g(x)(x-1) + r は係数がたまたま実数であるだけで、
そのまま C[x] での等式とみることもできますね。そこで複素数の代入 φ_z によって

f(z) = g(z)(z-1) + r

をも成立します。

これが { 実数上(複素数上)の多項式 } → { 実数(複素数) } の矢印です。
逆向きの矢印は宿題ね。

お礼

大変遅くなりました、すみません。ここのところ大変忙しく、これ以上深く考える時間がなくて消化しきれなかったことが残念です。
しかし、答えてくださった内容は大変興味深く、また機会があれば考えてみようと思います。
遅くなりましたが、大変ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>このように明確に前提を定めずに問題が成り立つことはあるのでしょうか。
非常によい着目です。

実数係数の多項式全体は通常 R[x] で表され、複素数係数の多項式全体は C[x] で表されます。
そして自然に R[x] ⊂ C[x] (実数係数の多項式は複素数係数の多項式の特別な場合)とみなすことができます。

多項式の割り算とは R[x] や C[x] の中で完結した演算です。
つまり、この時の x に意味はありません。実数でも複素数でもない「ただのシンボル」です。

R[x] の中で割り算 F(x) = (x-1)Q(x) + R を得たとすると、
これは C[x] の割り算の結果とも見ることができます。(係数がたまたま実数だったということです)。

したがって「ただのシンボル」x に対して成立する等式にある時は実数、またある時は複素数を
代入することが可能です。(ちょっと説明をはしょった)

補足

No.1さんの話からすると

多項式の演算体系⇔ある定理・公理⇔一般の数(複素数)の演算体系

上の図のように行き来できるような印象を受けました。
私は前から=で結べるのは一般の数だけで(一般の数においてのみ定義され真か偽か判定されると)、多項式の演算は常に量化された上で行われていると思ってきたのですが、それは間違いですか、つまり多項式の演算体系は一般の数の演算体系とは別にちゃんと定義(真か偽か判定可能にするために)されているのでしょうか。

その上で何らかの定理なり公理なりで行き来できるならばわかります。しかし、突如として「ただのシンボル」に数を入れたり入れなかったりするのではいまいち理解できないのです。よかったら、もう少し教えていただけるとうれしいです。