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f(x)の割り算
f(x)は3次以上の整式であるとする f(x)を(x-1)^3で割れば余りはax^2+bx+cでありx-2で割れば余りはdであるという (1) f(x)を(x-1)(x-2)で割ったあまりを求めよ (2) 特にa=b=c=d=1のときf(x)を(x-1)^3(x-2)で割った余りを求めよ f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax^2+Bx+C f(x)をx-2で割った余りとAx^2+Bx+Cをx-2で割った余りは同じだから Ax^2+Bx+C=p(x-2)+ax+bのax+bがd(pはAx^2+Bx+Cを(x-2)で割った商) よって Ax^2+Bx+C=p(x-2)+d これをf(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax^2+Bx+Cに代入して f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+p(x-2)+d ここからが分かりません f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax^2+Bx+Cの(x-1)(x-2)Q(x)の部分が(x-1)^3で割りきれるとは限らないから手が出せません ここから先の解き方を教えてください
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式の置き方が一部適切ではありません。 (1) f(x)=(x-1)^3*P(x)+ax^2+bx+c ...(A) f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+e(x-2)+d ...(B) とおける。 f(1)=a+b+c=-e+d ∴e=d-a-b-c ...(C) f(x)を(x-1)(x-2)で割った余りは e(x-2)+d =(d-a-b-c)x-2(d-a-b-c)+d =(d-a-b-c)x+2a+2b+2c-d ...(D) ←(1)の答え (2) a=b=c=d=1のとき (C)より e=d-a-b-c=-2 ...(E) 余りは(D)より e(x-2)+d=-2(x-2)+1=-2x+5 ...(F) また(A)より f(x)=(x-1)^3*P(x)+x^2+x+1 ...(G) f(x)を(x-1)^3*(x-2)で割った余りは4次なので 余りを(x-1)^3で割った商をhとおくと(G)より f(x)=(x-1)^3*(x-2)R(x)+h(x-1)^3+x^2+x+1 ...(H) とおける。 またf(x)を(x-2)で割った余りはd=1なので f(x)=(x-2)Q(x)+1 ...(I) とおける。 (G),(H)を比較すると P(x)=(x-2)R(x)+h ...(J) (H),(J)と(I)より f(2)=P(2)+7=h+7=1 ∴h=-6 ...(K) 従ってf(x)を(x-1)^3*(x-2)で割った余りは、(H),(K)より h(x-1)^3+x^2+x+1=(x^2+x+1)(h(x-1)+1) =(x^2+x+1)(-6x+7) =-6x^3+x^2+x+7 ...(L) ←(2)の答え
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- いろは にほへと（@dormitory）
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まずは f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bと置くことです。(x-1)(x-2)で割った余りは問題の条件にはありませんから、何かは分からないハズです。 ただ、二次式で割った余りは高々一次ですから、ax+bと置けます。 これでf(x)の大方の目安がついたわけであるから、ここで初めて問題の条件を利用出来ます。
お礼
f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax+B f(x)をx-2で割った余りとAx+Bをx-2で割った余りは同じだから Ax+B=p(x-2)+CのCがd(pはAx+Bを(x-2)で割った商) よって Ax+B=p(x-2)+d これをf(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+Ax+Bに代入して f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+p(x-2)+d こうですね ありがとうございます
- いろは にほへと（@dormitory）
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一般に多項式Pを多項式Bで割ったときの余りはBより低い次数の多項式か、定数になります。次数を推測してみてください。
補足
f(x)を(x-1)(x-2)で割れば1次以下 でもf(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+p(x-2)+dは正しいですからおかしいですね f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+p(x-2)+dの導出がおかしいのでしょうか？
- Tacosan
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f(x) を x-1 で割った余りは?
補足
分からないです f(x)を(x-1)^3で割れば余りはax^2+bx+cというのを利用するのでしょうか？
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お礼
長々とありがとうございました 解き方分かりました