極限の問題（再投稿）

質問

lim[n→∞](1+1/2√n)^4n*(1-2/√n)^n　を求めよ

という問題の解き方を質問したのですが、どういうことか質問が削除されてしまいました。
とりあえず１という答えが出ました。ていねいな回答をつけてくださった方がいたのでお礼をしたいのですがさっき自然対数を用いた解法を紹介してくれた方が見ていましたらお返事下さい

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

確か lim(n→∞) q(n) = ∞ かつ lim(n→∞) p(n) q(n) = c (定数) なら
lim(n→∞) (1+p(n))^q(n) = e^c
となるはずです (証明はどこかにあるかなぁ). だから, [...] を地道に展開すればそれだけでほぼ終了.

お礼

q(n)=n
p(n)=(1+1/2√n)^4*(1-2/√n)-1

とおいて、

lim(n→∞)p(n)q(n)=5/2 　｛p(n)を展開して1/nの項が*q(n)で定数項に。1/√nの項は消滅。他は→∞でゼロに}

より
与式＝e^(2.5)

ですね！計算が間違っていなければあっている筈です。
有難うございました。

回答No.6

Tacosan

いやぁ, 見たことないですね....
だから「確か」とか「証明はどこかにあるかなぁ」とかで言葉を濁していたんですが (苦笑).
多分, 本質は
lim (1 + c/n)^n = e^c
と同程度だと思います.
おおざっぱな議論でよければ
log lim (1 + p(n))^q(n) = lim log (1 + p(n))^q(n) = lim [q(n) log (1 + p(n))] = lim q(n) p(n) = c
から lim (1 + p(n))^q(n) = e^c とできる, かも. 厳密には極限と対数が交換できる (最初の「=」が成り立つ) ことを議論する必要があります.

補足

なるほど。覚えていると便利な公式ですね。

回答No.5

Tacosan

残念ながら計算が間違ってます....
p(n) q(n) → -5/2
じゃないかな.

お礼

重ね重ねすいません。見返しましたが明らかに負号がないとおかしいですね。

e^-2.5です。ありがとうございました。

ところでこの公式、手元の参考書（微積、大学初年度程度）には載っていなかったのですが数３Ｃで既習だったでしょうか？

回答No.3

Tacosan

それは.... 間違える可能性が高いからやめた方がいいと思うなぁ.
その方法は, 例えば
lim (1+1/n)^√n = 1
だから
lim (1+1/n)^n = lim [(1+1/n)^√n]^√n = lim 1^√n = 1
とやってるようなもの. さすがにこれが間違っていることはわかるよね? 「どうして」間違っているか, わかりますか?
でどうするかというと
(1+1/(2√n))^(4n) * (1-2/√n)^n = [(1+1/(2√n))^4 (1-2/√n)]^n
としておいて, 先に [...] を計算してから極限をとる.

補足

回答ありがとうございます。
実はその方法でやろうとも考えたのですが、[...]内の計算を普通にしてもうまい形にならなかったのでどうしたものか分からなかったのです。

ここから以前の質問で紹介していただいたeを用いた解法を適用できるような、あるいは別の解法が使えるような形にするにはどうすればよいのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

あれ? 1 にはならないような気がするんだけどなぁ.
その「1」という答えはどのようにして出しましたか?

補足

lim[x→∞](1+1/x)^n=e
lim[x→∞](1-1/x)^n=1/e
ということでしたので、

与式＝lim[x→∞]{(1+1/2√n)^2√n*(1-1/(√n/2))^√n/2}^2√n

＝lim[x→∞](e*(1/e))^2√n=1

としてみました。何か変な気もしますね。間違ってる箇所があればご教示ください。

回答No.1

fifaile

投稿できない内容
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補足

すみません、次回以降気をつけます。