パーシバルの等式について

質問

パーシバルの等式は連続系で書かれているものが多く、積分範囲がマイナス∞から∞までとなっていますが、これは離散系ではどうなるのでしょうか？積分範囲が有限でも成り立つのでしょうか？

回答No.2

nubou · ベストアンサー

区間（－∞，－∞）で定義された関数のパーシバルの等式：
ｈ（ｔ）を区間（－∞，－∞）が定義域である実数値関数とし
Ｈ（ｆ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｆ・ｔ）・ｈ（ｔ）
としたとき
∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ）＾２＝∫（－∞＜ｆ＜∞）ｄｆ・｜Ｈ（ｆ）｜＾２
である

区間［０，Ｔ）で定義された関数のパーシバルの等式：
ｈ（ｔ）を区間［０，Ｔ）が定義域である実数値関数とし
ｈ［ｎ］≡∫（０≦ｔ＜Ｔ）ｄｔ・ｈ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｎ・ｔ／Ｔ）／Ｔ
（ｎは整数）としたとき
∫（０≦ｔ＜Ｔ）ｄｔ・ｈ（ｔ）＾２＝Ｔ・Σ（－∞＜ｎ＜∞）・｜ｈ［ｎ］｜＾２
である

Ｎ個の実数のパーシバルの等式：
実数の組ｈ［０］，ｈ［１］，ｈ［２］，ｈ［３］，・・・，ｈ［Ｎ－１］に対し
Ｈ［ｎ］≡Σ（０≦ｋ＜Ｎ）・ｈ［ｋ］・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｎ・ｋ／Ｎ）／Ｎ
（ｎ＝０，１，２，３，・・・，Ｎ－１）としたとき
Σ（０≦ｎ＜Ｎ）・ｈ［ｎ］＾２＝Ｎ・Σ（０≦ｎ＜Ｎ）・｜Ｈ［ｎ］｜＾２
である

お礼

ありがとうございました，大変参考になりました．

回答No.1

nubou

非周期関数のパーシバルの等式：
ｈ（ｔ）を実数値関数とし
Ｈ（ｆ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｆ・ｔ）・ｈ（ｔ）
としたとき
∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ）＾２＝∫（－∞＜ｆ＜∞）ｄｆ・｜Ｈ（ｆ）｜＾２
である

周期Ｔの関数のパーシバルの等式：
ｈ（ｔ）を区間［０，Ｔ）が定義域である実数値関数とし
ｈ［ｎ］≡∫（０≦ｔ＜Ｔ）ｄｔ・ｈ（ｔ）ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｎ・ｔ／Ｔ）／Ｔ
としたとき
∫（０≦ｔ＜Ｔ）ｄｔ・ｈ（ｔ）＾２＝Ｔ・Σ（－∞＜ｎ＜∞）・｜ｈ［ｎ］｜＾２
である
なお
ｈ（ｔ）＝Σ（－∞＜ｎ＜∞）・ｈ［ｎ］・ｅｘｐ（ｊ・２・π・ｎ・ｔ／Ｔ）
である

Ｎ個の実数のパーシバルの等式：
実数の組ｈ［０］，ｈ［１］，ｈ［２］，ｈ［３］，・・・，ｈ［Ｎ－１］に対し
Ｈ［ｎ］≡Σ（０≦ｋ＜Ｎ）・ｈ［ｋ］・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｎ・ｋ／Ｎ）／Ｎ
（ｎ＝０，１，２，３，・・・，Ｎ）としたとき
Σ（０≦ｎ＜Ｎ）・ｈ［ｎ］＾２＝Ｎ・Σ（０≦ｎ＜Ｎ）・｜Ｈ［ｎ］｜＾２
である