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重積分について
∫dx∫dy∫dz exp[-(x2+y2+z2) / 2KT](1+x/c)の解を教えて欲しいのです。 ∫は-∞から∞です。x2,y2,z2はそれぞれ二乗です。 全然分からなくて困っています。 ただ、∫exp-(x2)dx = √πを使うとは思います。 どうか宜しくお願いします。
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次の関数の全微分を求めよ。 (1) z=1/(√x^2+y^2) 解：dz=-x/{√(x^2y^2)^3}dx-y/{√(x^2y^2)^3}dy (2) z=tan^-1(x^2+y^2) 解：dz=2x/{(x^2+y^2)^2+1}dx+2y/{(x^2+y^2)^2+1}dy (3) z=exp(1/x^2+y^2) 解：dz=-[2x/{(x^2+y^2)^2}]e^{1/(x^2+y^2)}dx-[2x/{(x^2+y^2)^2}]e^{1/(x^2+y^2)}dy
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次のベッセルの方程式の問題の解き方が分かりません。 数学に詳しい方、よろしければご教示願えないでしょうか。 問題は、 ベッセルの方程式に帰着できるさまざまな方程式がある。示されている置換を 使って、次の微分方程式の一般解を求めよ。 4*x^2*y" + 4*x*y' + (x - ν^2)*y = 0 (√x = z) このように解いてみました。 ベッセルの微分方程式は、 x^2*y" + x*y' + (x^2 - ν^2)*y = 0 で、 一般解は、 y(x) = A*Jν(x) + B*Yν(x) ここで、A と Bは任意定数、Jν(x)は第1種ベッセル関数、Yν(x)は第2種ベッセル 関数。 √x = z より、 dz/dx = 1 / (2*√x) y'とy"は、 y' = dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) = (dy/dz)/(2*√x) y" = d^2y/dx^2 = (d/dx)*(dy/dx) = (d/dz)/(2*√x)*(dy/dz)/(2*√x) = (d^2y/dz^2)/(4*x) ゆえに、 4*x^2*y" + 4*x*y' + (x - ν^2)*y = 4*x^2*(d^2y/dz^2)/(4*x) + 4*x*(dy/dz)/(2*√x) + (x - ν^2)*y = x*(d^2y/dz^2) + 2*√x*(dy/dz) + (x - ν^2)*y = z^2*(d^2y/dz^2) + 2*z*(dy/dz) + (z^2 - ν^2)*y = 0 となって、第 2項目が z*(dy/dz) にならず、2*z*(dy/dz) になってしまいます。 本の回答をみると、 A*Jν(√x) + B*Yν(√x) となっているので、問題の微分方程式を、 z^2*(d^2y/dz^2) + z*(dy/dz) + (z^2 - ν^2)*y = 0 に変形したのだと思いますが、どのようにすれば良いのでしょうか ? 同様に下記の問題も、 x^2*y" + x*y' + 4*(x^4 - ν^2)*y = 0 (x^2 = z) 同じ解き方をしたため、 z^2*(d^2y/dz^2) + z*(dy/dz) + (z^2 - ν^2)*y = 0 に変形できませんでした。 なにとぞよろしくお願いします。
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全微分方程式A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz=0がある。この式をPとおく。ここで、ベクトル値関数f=[A,B,C]とおき、f・(rotf)=0となるならばPは積分可能でその一般解は下記の手順により求まる。 手順1:Pについてdz=0とすると、Adx+Bdy=0となる。この式をQとおく。これが(∂A/∂y)=(∂B/∂x)を満たすとき、また満たさないときは積分因子μをかけることによりこのQの一般解ξ(x,y,z)=E (Eは定数)が得られる。 手順2:Pの両辺にλをかけたものの一般解を求める。するとλAdx=(∂ξ/∂x)となる。これから、λの値を求める。 手順3:ξの全微分はdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy+(∂ξ/∂z)dzとなり、このうち(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dyはλAdx+λBdyとなるが、最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλRdzとなるかは不明である。 dξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy+(∂ξ/∂z)dzと(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=λAdx+λBdyより、λAdx+λBdy=dξ-(∂ξ/∂z)dzとなる。 するとPの両辺にλをかけた式は、λAdx+λBdy+λCdz=dξ+{λC-(∂ξ/∂z)}dz=0となる。 ここで、λC-(∂ξ/∂z)=ηとおくと、λAdx+λBdy+λCdz=dξ+ηdz=0となり、2変数の全微分方程式dξ+ηdz=0が得られる。この解が結局全微分方程式Pの一般解となる。 ここで質問です。 手順1でdz=0とした式Adx+Bdy=0 (∂A/∂y)=(∂B/∂x)、またはμAdx+μBdy=0 (∂μA/∂y)=(∂μB/∂x)を解くとこの一般解、ξ(x,y,z)=Eが得られ、この関数ξの全微分はdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=Adx+Bdy=0、またはdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=μAdx+μBdy=0になるのが分かります。 手順2,3でλAdx+λBdy+λCdz=0という式が出てきますが、これはλをかける事により完全形になっていると思われます。しかしなぜλAdx=(∂ξ/∂x)となるのかが分かりません。ξはAdx+Bdy=0の解として現れる関数なので、λAdx+λBdy+λCdz=0を満たす関数は別にあり、例えばこれをσとすると、この関数の全微分はdσ=(∂σ/∂x)dx+(∂σ/∂y)dy+(∂σ/∂z)dz=λAdx+λBdy+λCdz=0となり、λAdx=(∂σ/∂x)dxとなるのではないのでしょうか？ それともこの関数σがξと一致すると仮定しているのでしょうか？ それからもう1つ気になるのですが、手順3で「最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλRdzとなるかは不明である。」とありますが、これもよく意味が分かりません。なぜ(∂ξ/∂z)dzだけλRdzとはなるか分からないのでしょうか？ おそらく私が根本的に間違っていると思いますので、詳しい方教えてください。お願いします。
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