- ベストアンサー
∫{(1/cosx)^4}dxの計算
y' - ytanx = (y^4)secx という微分方程式を解いています。 まずz = y^(-3)とおくと dz/dx = {-3y^(-4)}y' ここで『y' - ytanx = (y^4)secx』の両辺に{-3y^(-4)}をかけて {-3y^(-4)}y' + (3tanx)y^(-3) = -3secx z = y^(-3)、dz/dx = {-3y^(-4)}y'なので上式は dz/dx + (tanx)z = -3secx ――――（＊） となります。 dz/dx + (tanx)z = 0の微分方程式の解は z = C(cosx)^3 （Cは積分定数）なので、（＊）式のzの解を z = C(x)(cosx)^3とおいて（＊）の式に代入すると C'(x) = 1/(cosx)^4 となります。 最後にC'(x)をxで積分してzを求め、yを求めたいのですが、 ∫{(1/cosx)^4}dxが解けなくてこれ以上進めません。 この積分はどう解くのでしょうか？
- R_Earl
- お礼率100% (19/19)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数5
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
まず、∫{(1/cosx)^2}dx=tanx(微分すれば明らか) I=∫{(1/cosx)^2}{(1/cosx)^2}dx（部分積分する） ={(1/cosx)^2}tanx - 2∫{sinx/(cosx)^3}(tanx)dx =sinx/(cosx)^3 - 2∫{(sinx)^2/(cosx)^4}dx =sinx/(cosx)^3 - 2I + 2∫{1/(cosx)^2}dx ゆえに 3I=sinx/(cosx)^3 +2tanx
その他の回答 (1)
- take008
- ベストアンサー率46% (58/126)
∫(1/cosx)^4dx ＝∫(1/cosx)^2(1/cosx)^2dx ＝∫(1+tan^2x)(tanx)'dx ＝tanx+1/3tan^3x+C
お礼
置換積分で解く方法は全く考え付きませんでした。 これで何とか先に進めそうです。 回答ありがとうございました。
関連するQ&A
- 微分方程式の解 積分 ∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dx
cosD^(2)y+secxDy+(secxtanx+cosx)y=2sec^(2)xtanx D[cosxDy+(secx+sinx)y]=2sec^(2)xtanx cosxDy+(secx+sinx)y=sec^(2)x Dy+(sec^(2)x+tanx)y=sec^(3)x ｙ=e^(-α)*｛∫sec^(3)x*e^α dx +C} （α＝tanx+log|cosx|） tanx=βとおいてみたり,部分積分を試みたのですが ∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dxのが求められません。 解き方わかった方教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式と積分
1.次の微分方程式を解け。 （1）y''+2y'+y=3sin2x 同次微分方程式の一般解はu(x)=(C₁+C₂x)exp(-x) と求められるのですが、非同次微分方程式の特殊解u₀(x)が求められません。 どうやって求めればいいのでしょうか。 (2)y''-5y'+6y=x(exp(x)) 非同次微分方程式の特殊解u₀(x)はどうやって求めたらいいのでしょうか。 2.置換積分によって、次の定積分を求めよ。 1.∫[0→π/2] 1/(1+cosx)dx tanx/2=tと置いた後、どうすればいいのでしょうか。 2.∫[0→a] x^2（√a^2-x^2）dx(a>0) x=asintとおくと、dx=acost dt .∫[0→a] x^2（√a^2-x^2）dx=∫[0→π/2] a^2sin^2t*acos^2t dt このあとどうすればいいのでしょうか。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 完全形でない3変数関数の微分方程式の解法
全微分方程式A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz=0がある。この式をPとおく。ここで、ベクトル値関数f=[A,B,C]とおき、f・(rotf)=0となるならばPは積分可能でその一般解は下記の手順により求まる。 手順1:Pについてdz=0とすると、Adx+Bdy=0となる。この式をQとおく。これが(∂A/∂y)=(∂B/∂x)を満たすとき、また満たさないときは積分因子μをかけることによりこのQの一般解ξ(x,y,z)=E (Eは定数)が得られる。 手順2:Pの両辺にλをかけたものの一般解を求める。するとλAdx=(∂ξ/∂x)となる。これから、λの値を求める。 手順3:ξの全微分はdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy+(∂ξ/∂z)dzとなり、このうち(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dyはλAdx+λBdyとなるが、最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλRdzとなるかは不明である。 dξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy+(∂ξ/∂z)dzと(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=λAdx+λBdyより、λAdx+λBdy=dξ-(∂ξ/∂z)dzとなる。 するとPの両辺にλをかけた式は、λAdx+λBdy+λCdz=dξ+{λC-(∂ξ/∂z)}dz=0となる。 ここで、λC-(∂ξ/∂z)=ηとおくと、λAdx+λBdy+λCdz=dξ+ηdz=0となり、2変数の全微分方程式dξ+ηdz=0が得られる。この解が結局全微分方程式Pの一般解となる。 ここで質問です。 手順1でdz=0とした式Adx+Bdy=0 (∂A/∂y)=(∂B/∂x)、またはμAdx+μBdy=0 (∂μA/∂y)=(∂μB/∂x)を解くとこの一般解、ξ(x,y,z)=Eが得られ、この関数ξの全微分はdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=Adx+Bdy=0、またはdξ=(∂ξ/∂x)dx+(∂ξ/∂y)dy=μAdx+μBdy=0になるのが分かります。 手順2,3でλAdx+λBdy+λCdz=0という式が出てきますが、これはλをかける事により完全形になっていると思われます。しかしなぜλAdx=(∂ξ/∂x)となるのかが分かりません。ξはAdx+Bdy=0の解として現れる関数なので、λAdx+λBdy+λCdz=0を満たす関数は別にあり、例えばこれをσとすると、この関数の全微分はdσ=(∂σ/∂x)dx+(∂σ/∂y)dy+(∂σ/∂z)dz=λAdx+λBdy+λCdz=0となり、λAdx=(∂σ/∂x)dxとなるのではないのでしょうか？ それともこの関数σがξと一致すると仮定しているのでしょうか？ それからもう1つ気になるのですが、手順3で「最後の(∂ξ/∂z)dzだけはλRdzとなるかは不明である。」とありますが、これもよく意味が分かりません。なぜ(∂ξ/∂z)dzだけλRdzとはなるか分からないのでしょうか？ おそらく私が根本的に間違っていると思いますので、詳しい方教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式つまらなさすぎる（？）悩み
(1) dy/dx=f(ax+by+c)のときax+by+c=zとおいて zに関する微分方程式を作れ。 (2) (1)を利用して、微分方程式dy/dx=x+y+1を解け。 この問題について質問があります。まず（１）についてですが、 答えが dz/dx=a+bf(z) でした。私はもっと変形できるのかと 思いずっと悩んでいました。でもこれが答えだったんです。 何をもって”微分方程式”というのでしょうか？また（１）の答えは これ以外にはあり得ないのでしょうか？例えばdxじゃなくてdy が入っていてもいいと思うし、なぜxが選択されたのか不明です。 次に（２）の解説の中で、x+y+1=zとおくと、（１）から dz/dx=1+z・・・(1) 1+z=0 は(1)の解である。・・・ となっていました。なんで1+z=0 が(1)の解になるのでしょうか？ これはすなわちdz/dx=0 ということだと思うのですが何をもって この解が導かれたのかさっぱりです。脚注にも説明はありませんでした。 またf(z)がzと表記が変わったことにも違和感を覚えます。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題です。
以下の問題の解答のチェックをお願いします。 図のyに関する微分方程式について、以下の問いに答えよ。 (a)y=e^zとおき、微分方程式をzに関する微分方程式に書き換えよ。 (b)dz/dx=v とおき、(a)で得られた微分方程式をvについて解け。 (c)微分方程式(1)の一般解を求めよ。 (a) z''-2(z')^2-z'=0 (z'=dz/dx) (b) v=Ce^x/(1-2Ce^x) (c) y=C1・(1-C2e^x)^(-1/2) 特に(c)が自信がありません。。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式と積分について
以下の問題について、解と解き方を教えていただけないでしょうか。 1.連立微分方程式の一般解と特殊解 (D+2)x-2y=1 x+(D+5)y=2 2.微分方程式の一般解と特殊解 （D^2-2D+1）y=x 3.積分※cは括弧内の閉曲線であり正の向きを持つ ∫c dz/(2z＾2+3z-2) ※(c:｜z｜=1)
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分計算がわかりません
微分方程式の問題で (x+y)dy/dx=3x+3y+1 の一般解を求めたいのですが 自分がわかった部分は Y=x+y・・・(1)とおいて 両辺をxで微分して dY/dx=1+dy/dx・・・(2) となるので(1)(2)から dY/dx=(4Y+1)/Yになって Y/(4Y+1)dY＝dx で両辺を積分すれば求まると思ったのですが 左辺の積分がうまく出来ません また、ここまでの式変形がすでに間違えているのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- z=(-x/y)*(dy/dx) を dz/dxで微分すると？
z=(-x/y)*(dy/dx) を dz/dxで微分すると？ 微分に関して分らない問題があります。 あるテキストの解法の途中で、 「z=(-x/y)*(dy/dx) ⇒ dz/dxで微分 ⇒ dz/dx=(2/y)-(2x/y^2)*(dy/dx)」 となっているのですが、この原理について、調べてみてもなかなか見つかりません。 どなたか原理の分かる方おられませんでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 これで先に進めそうです。