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微分方程式の解　積分　∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dx

cosD^(2)y+secxDy+(secxtanx+cosx)y=2sec^(2)xtanx D[cosxDy+(secx+sinx)y]=2sec^(2)xtanx cosxDy+(secx+sinx)y=sec^(2)x Dy+(sec^(2)x+tanx)y=sec^(3)x ｙ=e^(-α)*｛∫sec^(3)x*e^α dx +C} （α＝tanx+log|cosx|） tanx=βとおいてみたり,部分積分を試みたのですが ∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dxのが求められません。 解き方わかった方教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

被積分関数は周期πの関数であることから |x|<π/2で考えれば良いと考えられる。 この時 cos(x)>0となる。 ∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|)dx =∫e^(tan x)/(cos x)^2 dx =∫(tan x)'*e^(tan x)dx= ←後は分かりますね。 積分範囲|x|>π/2の積分は 周期関数の性質f(x±nπ)=f(x)を利用すれば |x|<π/2のf(x)の積分に変換できますね。 ということで不定積分で考える場合は |x|<π/2で考えておけばいいでしょう。 定積分する際には上記のように周期関数の性質を利用して |x|>π/2の積分を|x|<π/2での積分に変換して積分すれば、任意区間での定積分が可能になります。

tomson1192
質問者

お礼

細かい回答ありがとうございした cosx>0となる説明助かりました＾＾

その他の回答 (1)

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.1

　なんだかよく分からないけど、結局、xを実数として 　F(x)　=　∫((sec(x))^3) exp(tan(x)) |cos(x)| dx を計算したいってことですか？ 　G(x) = ∫((sec(x))^3) exp(tan(x)) cos(x) dx なら計算できるでしょう。すると、 　F(x) = sgn(cos(x)) G(x) + C ここに、sgn( )は符号関数、すなわち 　sgn( y) = （y>0なら1、y<0なら-1） です。

tomson1192
質問者

お礼

朝早くからありがとうございました exp(log|cosx|)=|cosx|になることをすっかり忘れてました＾＾； おかげで助かりました

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