極座標について

質問

２次元極座標の計算で（ラプラシアン計算するときにでてきました）、

∂θ/∂x = - cosθ/r

となりますが、なぜ逆関数の微分を使って

∂θ/∂x = (∂x/∂θ)^-1 = - 1/r cosθ

としたらいけないのでしょうか？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2,#3です。
A#3の補足質問の回答です。

＞一変数（一価関数）での逆関数の微分の関係は、偏微分などで一価関数の関係が崩れると成り立たなくなるんですね。

偏微分では、独立変数が２変数以上あるため、１変数の一価関数のように逆関数自体の定義が（特別な場合を除いて）できないということですね。
逆関数が定義できなければ、逆関数の微分も定義できないわけですから、
「逆関数の微分の関係」を考えてもナンセンスという事ですね。

偏微分とその逆数（逆関数）の偏微分を形式上計算して、その意味があるとすれば、偏微分と逆関数の偏微分で使われる微分変数以外の全ての変数が固定、つまり定数として扱う事が前提になります。
実際、そういうことが不可能で、前提条件が成立しない事から、
「偏微分とその逆数（逆関数）の偏微分を形式上計算」して、その式間の関係式を作る事自体不可能という事ですね。

お礼

ありがとうございます。

なるほど、良く分かりました。

一言で言ってみれば、偏微分では逆関数になってないから逆数（逆関数）の関係が成り立っていないんですね。

こう言ってみると、ものすごく当然のことのように思えました＾＾；

回答No.3

info22

#2です。

＞　dy/dx = (dx/dy)^-1
＞　が成り立つということで、間違いはないと思うのですがいかがでしょうか。

dy/dx = (dx/dy)^(-1)
の関係は
xとyは一価関数の関係にあるか、または、一価関数の関係の変数領域に限定し、不連続点が存在しない場合に成立します。
y=f(x)に対してx=g(y)が存在するか、存在する領域で
f(g(y))=y,g(f(x))=x
が存在すれば
dy/dx = (dx/dy)^(-1)
が成立するという事です。

しかし、2変数関数や座標系の異なる変数間では、1変数関数のような逆関数が存在しなく、相互の変換関係は一次変換で逆関数の関係とはいえません。つまり、微係数を考える場合、座標系の変換式は一種の独立変数が２つある2変数関数なので、微係数が偏微分となって、その偏微分では、一方の変数を変化させ、他方を固定しますので、
∂θ/∂x＝∂θ(x,y)/∂x|(y=固定)
∂x/∂θ＝∂x(r,θ)/∂θ|(r=固定)
では
固定する変数と変化する変数が同じにならないこと、
∂θ/∂xを考える場合は
yを固定しxを変化させる事は、r=(x^2+y^2)^(1/2)が変化する事を意味し、rが固定されません。
つまり、rが固定できませんので、∂x/∂θが定義できません。

逆に∂x/∂θを考える場合は
rを固定しθを変化させる事は、y=r sinθが変化することを意味し、yが固定されず、yが固定できませんので∂θ/∂xが定義できません。
つまり、
∂x/∂θと∂θ/∂xは同時に定義できないため
∂θ/∂x と　(∂x/∂θ)が等式関係で書けない、つまり
∂θ/∂x = (∂x/∂θ)^-1
が成立しないという事ですね。

お礼

さらに詳しいご説明ありがとうございました。
一変数（一価関数）での逆関数の微分の関係は、偏微分などで一価関数の関係が崩れると成り立たなくなるんですね。

回答No.2

info22

＞∂θ/∂x = - cosθ/r
は間違いですね。

＞なぜ逆関数の微分を使って
＞(∂x/∂θ)^-1
逆関数でなく逆数の間違いです。

偏微分では
＞∂θ/∂x = (∂x/∂θ)^-1
は成立しませんので等号で結べません。
何重にも間違いを犯して見えますね。

少し説明しておきます。
極座標(r,θ)と直交座標(x,y)の関係は
x=r cosθ
y=r sinθ
逆に解けば
r=√(x^2+y^2)
θ=arctan(y/x)

u=y/xとおくと
∂θ/∂x=d{arctan(u)}/du*∂(y/x)/∂x
={1/(1+u^2)}*(-y/x^2)
=-y/(x^2+y^2)=-r sinθ/r^2=-sinθ/r
です。[最初の式はこの式になります]

さておき、
∂θ/∂x を考える時は
y=定数として扱います。…(A)

一方
∂x/∂θを考える時は
x=x(r,θ)=r cosθで rを定数として扱います。
この時
y=r sinθはθの関数となっています。…(B)

お分かりですか？
∂θ/∂x=(∂x/∂θ)^(-1)
が成り立たないことが。
左辺では(A)の通りyを定数として扱い、
右辺では（B)のとおりyを定数として扱っていないのです。
その為、等号で結べない事は明らかです。

つまり,実際に計算すると
∂θ/∂x= - cosθ/r
∂x/∂θ= r sinθ
で逆数の関係にありません。
∂θ/∂x≠(∂x/∂θ)^(-1)

お礼

ご回答ありがとうございます。
偏微分だと固定するものが違うので答えが違ってくるんですね。

すみません、sin と cos は書き間違えました＾＾；

一応間違えているのは確かなので言えたもんではないですが、逆関数の微分といったのは、

y = f(x) 　　（　x = f^-1(y)　）

という式に関して、

df(x)/dx = (df^-1(y)/dy)^-1
つまり
dy/dx = (dx/dy)^-1

が成り立つということで、間違いはないと思うのですがいかがでしょうか。（といっても、１変数を微分したときの式であって、偏微分で成り立たない訳だから間違いは間違いですが＾＾；）

回答No.1

phusike

偏微分をするときには、必ずどの変数を固定するかを考えないと痛い目に遭います。

(x,y) → (u,v) の変換を考えるにあたり、
熱力学等で使う (∂u/∂x)_y の固定変数を明示する記法を使いますと、
(∂u/∂x)_y = [ (∂x/∂u)_y ]^(-1) ≠ [ (∂u/∂x)_v ]^(-1)
に注意して、もう一度考えてみて下さい。

お礼

なるほど、最近熱理学をやったのですごく分かりやすかったです。
ありがとうございました！