内積空間Vと正規直交集合Xの関係について
- (i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
- (ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全
- X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とする。この時、(i)と(ii)の関係について証明を行いたい。
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(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完
お世話になっています。 [Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。 (i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi) (ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全 完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを 完全と言う」です。 つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。 証明で行き詰まっています。 (i)については x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。 これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか? あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。 何か助け舟をお願い致します。
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>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。 <xi,x>を計算すれば終わり >(ii)についてはさっぱりわかりません 「任意の」x∈Vに対して ∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2 ならばXは完全 x1,...,xnとは異なるyをとり, x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する. ||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば 矛盾がでてくる.
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有難うございます。 >x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。 > <xi,x>を計算すれば終わり Σ[i=1..n]cixi:=x,Σ(<x,xi>xi)=Σ[i=1..n](c1<x1,xi>+c2<x2,xi>+…+cn<xn,xi>) =Σ[i=1..n]cixi=x となりますね。 > >(ii)についてはさっぱりわかりません > 「任意の」x∈Vに対して > ∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2 > ならばXは完全 > x1,...,xnとは異なるyをとり, > x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する. > ||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば > 矛盾がでてくる. 仰ると通り証明できました。