- 締切済み
ピタゴラスの定理
定理（ピタゴラスの定理） {Xn}[Σn=1～N] を内積空間Ｖの中の正規直交系であるとする。すべての X∈Ｖ について ||X||^2 ＝ Σ[n=1～N]|(X,Xn)|^2 ＋ ||X－Σ[n=1～N](Xn,X)Xn||^2 が成り立つ。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ この証明で、内積の性質から Σ[n=1～N](Xn,X)Xn と X－Σ[n=1～N](Xn,X)Xn は直交である と、参考書に書かれていたのを使って証明したのですが・・・ 肝心の直交であることの証明が上手くいきませんでした。 ( Σ[n=1～N](Xn,X)Xn , X－Σ[n=1～N](Xn,X)Xn ) ＝ Σ[n=1～N]|(Xn,X)|^2 － ||Σ[n=1～N](Xn,X)Xn||^2 ＝ ０ ↑となるハズなのですが・・・、２つの等式が上手く説明できませんでした。 簡単な問題かもしれませんが、力を貸してくれたら幸いです。 また、この定理が何故「ピタゴラスの定理」というのかが分かりません。 協力お願いします。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
関連するQ&A
- (i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完
お世話になっています。 [Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。 (i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi) (ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全 完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを 完全と言う」です。 つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。 証明で行き詰まっています。 (i)については x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。 これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか? あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。 何か助け舟をお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ピタゴラスの定理で負の値・・・?
ピタゴラスの定理は幾何学などで使いますが、負の値を解とすることはありえますか?証明でx>0だから・・・と書きますが、そもそも解が負の値になりうる場合はあるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中心極限定理について
中心極限定理で理解できないところがあります。 多分、何か勘違いをしているところがあると思うので、分かる方は教えてください。 平均値 μ*，分散 σ2* をもつ，任意の分布に従う乱数列 x1，x2， … ，xnがあるとき，その平均値 ave(xn) = (x1+X2+・・・+xn)/n の確率分布は，n が大きくなるとき，平均値 μ*，分散 σ2* / n である正規分布に収束する。 すなわち， (ave(xn) - μ*)/(σ*/√n) は，n が大きいとき，平均値 0，分散 1 の標準正規分布に従うとみなしてよい。 はどうやって証明するのでしょうか？ また、１２個の乱数rand()を発生させた場合、分散は12*1/12=1になるようですが、これは中心極限定理から分散がσ2/nの正規分布に近づくという結果（こちらは1/12を12で割っている）に矛盾しているように思うのですが、どこが勘違いしているのでしょうか？ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 情報工学
- 二項定理の問題で・・・
二項定理の問題なので、表記が見にくくなってしまい、すいません； ｎとか０とか２は、二乗とかの、全て小さいものとして表記してます； 等式（１＋Ｘ）ｎ乗 （Ｘ＋１）ｎ乗 ＝（１＋Ｘ）２ｎ乗 を用いて、次の等式を証明せよ。 nＣ０二乗＋ｎＣ１二乗＋・・・＋nＣn二乗＝２nＣn この問題で、 （１＋Ｘ）n乗（Ｘ＋１）n乗 ＝nＣ０（nＣ０・ｘn乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn） ＋nＣ１Ｘ（nＣ０・Ｘｎ乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn） ＋nＣnＸn乗（nＣ０・Ｘn乗＋nＣ１・Ｘn-１乗＋・・・＋nＣn) となるようなのですが、どうしてこんな式になるのかがさっぱりわかりません。 また、 （１＋Ｘ）n乗（Ｘ＋１）n乗の展開式においてｘn乗の項の係数は nＣ０二乗＋nＣ１二乗＋・・・＋nＣn二乗 で、また、 （１＋Ｘ）２n乗の展開式の一般項は２nＣｒＸｒ乗 よってＸｎ乗の項の係数は２nＣｎ 両辺のＸｎ乗の項の係数は等しいから、等式は成立する。 なぜ両辺のＸn乗の項の係数を調べるのでしょうか？ 本当にわかりません。アドバイスお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- x1,x2,…,xn:正規直交Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2≦∥x∥^2且つx-Σ[i=1..n]<x,xi>xi⊥xj (∀j)
こんにちは。 [定理]x1,x2,…,xnが内積空間Xでの正規直交集合とする。 x∈Xの時, Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2≦∥x∥^2 且つ x-Σ[i=1..n]<x,xi>xi⊥xj (∀j) はどのようして示せばいいのか分かりません。 何卒,ご教示ください。 尚, 内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条 件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言 う。 (i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0 (ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す) (iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z> (iv) <αx,y>=α<x,y> ノルムの定義はVを線形空間とする。Vの任意の要素xに対して,次の条件を満たすような実数∥x∥がある時,∥x∥をxのノルムという。 (i) ∥x∥≧0;また∥x∥=0⇔x=0 (ii) ∥αx∥=|α|∥x∥ (iii) ∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベッセルの不等式（ヒルベルト空間）がわかりません。
『ヒルベルト空間と線型作用素（日合、柳）』を独習しています。 ヒルベルト空間 をHとします。 e_n⊂Hが正規直交系ならば、任意のx⊂Hに対して ｜｜x｜｜＾2≧Σ｜〈x，e_n〉｜＾2 が成り立つ（ベッセルの不等式） とあります。 この式の右辺は収束するとあるのですが、何故収束するのかがわかりません。 ヒルベルト空間上のノルムは有限の値しか取らないからなのでしょうか？ だとしたら、その根拠は何でしょう？どの定理や定義から言えるのですか？ 程度の低い質問で申し訳ないのですが、どなたか教えていただけると助かります。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- フェルマーの定理の式でn=-1,-2のときは?
x^n+y^n=z^nの自明でない整数解を求める問題があります。 n≧3のときには、存在しません。フェルマーが予想し、ワイルズが証明しました。 n=2のときには、ピタゴラス数といってたくさん解がありますが、たとえば、 d , m , n を任意の自然数として， x = d(m^2 - n^2), y = 2dmn, z = d(m^2 + n^2) といった解があります。 また、一つのピタゴラス数から次々に別のピタゴラス数を生成し、それで全部が尽くされる方法も知られています。 http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html n=1のときには、つまんない問題になります。 n=0のときには、存在しません。 n≦-3のとき、存在しないことは、すぐに考えれば分かると思います。 なので、問題なのは、n=-1,-2のときで、このとき解は無数に存在しますが、どう書き表せるのでしょうか? または、解を次々生成していく方法や、性質などはあるのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
