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n次元Euclid空間Rnについての問題です。

Ｔ(n-1)={(x1,x2,...,xn)∈Rn | Σn(i=1)xi^2=1} はn次元Euclid空間Rnにおいて、Rnの閉集合である と言えますか？ 証明もよろしくお願いします。

みんなの回答

回答No.1

T(n-1)は n=1 なら 1、-1 n=2 なら原点が中心の半径1の円周 n=3 なら原点が中心の半径1の球面 : : となるんでしょうか 普通の位相が入っているとしてT(n-1)が閉であることを証明するにはT(n-1)の補集合が開集合であることを示します。 (証明) U(n-1)をT(n-1)の補集合とする。x∈U(n-1)と原点の距離をpとすればp≠1。p<1のとき δ=(1-p)/2 とすればxのδ近傍は明らかにU(n-1)に含まれる。 p>1のときも同様。 よってU(n-1)は開集合。 (証明終)

papaparapia
質問者

お礼

回答ありがとうございます。　 よくわかりました！

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