中学2年生最大公約数と最小公倍数

質問

最小公倍数の定義とは複数の整数に対して、どちらの倍数にもなっている最小の正の自然数のことを言います。
x+y=90。xy=108×定数。この先がわかりません。（自然数をｘとｙとおく）

回答No.5

arrysthmia · ベストアンサー

x+y=90, xy=108k, kは定数　という問題が、
x,y の自然数解を持てばよいのですね？

k=(225-n^2)/12, n=0から14までの整数　であるときに限り、
x,y の自然数解が存在して、x,y=45±3n です。

x,y を解に持つ二次方程式を考えれば、わかります。

回答No.4

Tacosan

え～と, 手元で実験したら本質的に異なる 2組が出たんですけど...＞#3.
確かに, 18^2 = 324 = 3×108 だからなぁ....

回答No.3

chie65536

訂正。

＞ここで「足して５、掛けて６になる、２つの自然数」を考える。
ここで「足して５、掛けて６になる、２つの整数」を考える。
が正しい。つまり「マイナスも考慮する必要」がある。

掛けて６になる整数の組み合わせ（前後逆の物は除く）は、片方は必ず「－６から６の範囲」なので
（－６）×（－１）
（－３）×（－２）
２×３
１×６
の４つ。

このうち、足して５になるのは「２と３」のみ。

回答No.2

chie65536

90と108の最小公倍数を求める。

90=5×(3×3×2)
108=3×(3×3×2)×2

最小公倍数は
3×3×2=18
で18。

x+y=90
↓
x+y=5×18

xy=108×定数
↓
xy=6×18×定数

つまり
x+y=5×18
xy=6×18×定数
となる。

ここで「足して５、掛けて６になる、２つの自然数」を考える。

足して５になるのは「１と４」「２と３」だけ。
１と４→掛けて４なのでダメ
２と３→掛けて６なのでＯＫ

「5」を「2＋3」に、「6」を「2×3」に変形する。

x+y=5×18
xy=6×18×定数
↓
x+y=(2＋3)×18
xy=2×3×18×定数

「(2＋3)×18」を分配法則で「(2×18)＋(3＋18)」に変形

x+y=(2×18)＋(3＋18)
x+y=36＋54

ゆえに
x=36
y=54

回答No.1

pasocom

x+y=90。よりy=90-x。
xy=108×定数。に代入してx(90-x)=108k　（ｋは定数）。
90x-x^2=108k
x^2-90x-108k=0
これが（x+a)(x-b)=0　と因数分解できるはずだから（a,bは整数）
a-b=90でかつ、ab=108k　となる組み合わせを考えます。
すぐに考え付くのは、a=108、b=18ですね。

お礼

ありがとうございます！！
すごく参考になりました！
これを例としてほかの問いもやって見ます！