↓分数表記がめちゃくちゃでした

質問

漸化式の問題で分からないのがあります。
解説よろしくおねがいします。

問題

　　　　１ 　 　１　　　　　３
α1＝ ━，━━━＝━━＋２　によって定義される数列｛αｎ｝の一般項を求めよ
　　　　２ 　　αn+1 　αn

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは。すごい！！分数のとこ、苦労して書いてくれたんですね。
でも、スラッシュ/を使えば、分数を表現できますよ。

さて、分母に数列がきているので、1/αn=βnとおきます。
逆数を数列に考えるのです。すると与式は
β1=2,βn+1=3βｎ＋２と変形できますから、さらに
βn+1 +1 =3(βn +1)
となり、｛βn+1}が等比数列であることを示しています。
初項３、公比３ですから、一般項は3^nとなります。
したがってβn=3^n-1
αn=1/(3^n-1)
となるでしょう。

お礼

皆さんご回答ありがとうございました。
解き方がちょっぴり数学的帰納法みたいですね。
なんとか理解できました。
自分でできるかやってみます。

回答No.2

finalanswer

β[n] = 1/α[n] とおくと、
β[1] = 2、β[n+1] = 3β[n]+2
これを変形して
β[n+1]+1 = 3(β[n]+1)
となるので、数列{β[n]+1}は、初項3、公比3の等比数列。
ここまでくれば、簡単に求められます。
β[n]+1 = 3*3^(n-1) = 3^n
よって α[n] = 1/(3^n-1)

回答No.1

tamagawa49

bn=1/αnとおきます。
するとb1=2、　bn+1=3bn +2
という漸化式になります。この両辺に１を加えると、
bn+1 +1=3(bn +1)

ここでさらにcn=bn +1とおけばc1=b1 +1=3、cn+1=3cn
となるのでcnは初項3、公比3の等比数列です。よってcn=3^n
bn=cn -1なので3^n -1

よって、an=1/3^n -1 となります。