式の導出についての質問

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3773949.htmlに投稿していた問題なんですが、すれが沈んでしまい、解答が無くなってしまったので、再度質問させていただきます。

表記の都合上、添え字を{}で囲ませて貰います。
http://www.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/06/zoku15-060511.pdf​
に書かれている、1.7.7の導出で、c{n}=na{n}となっているのですが、これは何故なのでしょうか？

c{n}は、半径1のn次元球の表面積と書かれているのですが、c{n}は、n-1次元球の表面積のような気がするので、c{n}=a{n-1}となるような気がするのですが、どうなんでしょうか？

回答No.1

looker1986 · ベストアンサー

何故、c{n}=na{n}となるかについてはお答えできませんが、
少なくとも２次元や３次元でその等式が成り立っていることは、
わかると思います。

c{2}。すなわち２次元単位球(円)の表面積（つまり円周）は
2×a{2}=2×π=2π
c{3}。すなわち３次元単位球の表面積は
3×a{3}=3×4π/3=4π
ですね。これから考えると、c{n}=na{n}が成り立っていると予想できます。

お礼

あ～、実際に数を入れて考えると確かにそうですよね

んで良く考えたら、
c{n}はV{n}が半径１のときの表面積なので、
c{n}=V{n-1}(1)
V{n-1}(r)=dV{n}(r)/dr
　　　　　=d(r^n)a{n}/dr
a{n}は半径1のときのn次元球の体積なので、定数なので、
　　　　　=n(r^(n-1))a{n}
よって
c{n}=V{n-1}(1)
　　=n(1^(n-1))a{n}
　　=na{n}
ってことだったんですね＾＾；
有り難うございました。