確率の問題

質問

例えば先生がプリントと全く同じ問題を50問出すテストをすると予告しました。
プリントは足し算10問、引き算20問、掛け算30問、割り算40問の全100問で構成されています。
このときにテストで足し算が1問出る確率は単純に100問中1問なので1%、2問は2%・・・10問は10%でしょうか？
それとも全部で50問出るという事で計算が変わってくるでしょうか？

回答No.2

banakona · ベストアンサー

＃１です。訂正と補足を。

＞その他の49問を足し算以外から選び方が
正しくは、「・・・足し算以外から選ぶ方法の数が」

＞生成がやさしい
正しくは、「先生がやさしい」

（補足）
足し算が1問も出ないことも考えられます。この場合は、足し算以外の90問から50問を選ぶ場合なので　90Ｃ 50≒5.99×１０^25
で、これを総数1.008×１０^29で割ると、確率は０．０５９％　となります。なお、期待値には影響がありません。

計算例として1問でる場合を挙げましたが、これは分かりにくい例でした。そこで、３問でる場合を挙げると次のようになります。
足し算が３問でる場合の数は、出る３問の選び方が　10Ｃ 3＝（１０×９×８）÷（３×２×１）＝１２０
　その他の４７問を足し算以外から選ぶ方法の数が90Ｃ 47≒9.508×１０^25
　だから総数は１２０×9.508×１０^25＝1.141×１０^28
確率を計算すると（1.141×１０^28）÷（1.008×１０^29）≒０．１１３　で約１１．３％

お礼

ありがとうございます。
想像していた以上に難しい計算でびっくりしています。
参考にさせていただきます。

回答No.1

banakona

先生がプリントから「無作為に」出題するとします。
すると出題の仕方は100問から50問とりだす組み合わせの数なので　100Ｃ50≒1.008×１０^29
足し算が1問でる場合の数は、出る1問の選び方が　10Ｃ1＝１
　その他の49問を足し算以外から選び方が90Ｃ49≒7.301×１０^26
　だから総数は１×7.301×１０^26＝7.301×１０^26
確率を計算すると　7.301×１０^26÷（1.008×１０^29）≒０．００７２３　で約０．７２％
同様に、2問、3問、・・・の場合を計算すると、
　２問でる場合　３．８０％
　３問でる場合　１１．３％
　４問でる場合　２１．１％
　５問でる場合　２５．９％
　６問でる場合　２１．１％
　７問でる場合　１１．３％
　８問でる場合　３．８０％
　９問でる場合　０．７２％
１０問でる場合　０．０５９％

となります。エクセルで計算したので多少、誤差があるかもしれません。

ついでなので期待値を計算すると５となります。
つまり設問の条件で、足し算が出される数は平均５となり、「100問から50問選ぶということは半分になるのだから、足し算も半分（10問の半分の5）になるだろう」という予想と一致します。

ただしこれはあくまで先生が「無作為に出題する」場合の話です。生成がやさしい（甘い？）人で、足し算を全問出そうとか、逆に、イジワルな人で、1問も出そうとしない等の作為がある場合はこうなりません。