絶対値がなんなのか、さっぱりわかりません。

質問

|x|=x,-x
ということや
|x+3|=x+3,-x-3
ということはわかるのですが、たぶん。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=295764

｜X+1｜＋｜X-3｜とかの場合、
（１）X＜-1　（２）-1＜＝X＜3　（３）3＜＝X
に場合分けされますがよく理解できません。

x<-1はx+1をx=-1に移行したもののような気がしますし、
-1＜＝X＜3は、（１）にx=3を不等号つけて並べかえたもののようです。
（１）が|x+1|を利用しているのに（２）には｜X+1｜と｜X-3｜を使っています。なぜでしょう？

さらに、-1＜＝X＜3は以上（＜＝）やより以下（＜）になってたりします？？？
というわけで場合分けがどうやるものか？なんなのか？わかりません。

（３）は省略。

数直線にするや関数にして図に書き込むというのも読んだのですが、
イメージがわきません。

根本的にわかっていなくて、質問がむずかしいのですが、場合わけ
はどこでひっかりやすいのでしょうか？
わかりやすく教えてくださる方、絶対値とはなんなのか？、場合分けする方法
など教えてください。

回答No.4

mmky

補足まで
(1)絶対値という考えは、＃2さんの説明のように大きさや数を表すものです。
数学では、考えに便利なように基準値を設けます。これを座標の原点とかいいますがこの基準値をいつもゼロにおき、基準値より左側（および下側）の数をマイナス表示し、右側（および上側）の数をプラス表示すると決めています。マイナスの数字は数学上の概念なので実際の数字（物理的な数）ではありません。そこで答えがマイナスの数字になるときは絶対値という考えを入れて、いつもプラスの数にしているのです。それが絶対値というものです。絶対値で数学量と物理量の整合性をとっているのです。
（余談：たとえば、東京から大阪までの距離は500Km、東京から青森までの距離が500Kmといいますが、数学の世界では、東京を基準点として大阪までの距離はマイナス500Km、東京から青森までの距離はプラス500Kmになります。これをもとの表現に戻すのが絶対値です。）

(2)場合分けの考え方
「｜X+1｜＋｜X-3｜とかの場合、
（１）X＜-1　（２）-1＜＝X＜3　（３）3＜＝X
に場合分けされますがよく理解できません。」
ということですが、数学での場合わけ考え方は、
基本的には、基準点がどこにあるかということです。
ひとつの式の場合、それぞれの場合で、
Y1＝｜X+1｜　としますと基準点はX=-1
Y2＝｜X-3｜　としますと基準点はX=3
この二つを足した式は基準点を２個持っていますね。
Y3＝｜X+1｜＋｜X-3｜
基準点は、　X=-1, 3 　の２個だから場合を分けるとすれば、
(1)　-1より小さい数　(2)－1より大きくて３より小さい数
(3)　３より大きい数
の三通りに分けることが出来ます。
ここで、数学は厳密ですのでもうひとつ考えることがあります。
（概念上の数は無限にありますが、-1や3という1個の数をどちらに
入れるかということを決める必要があるのです。これが数学が数学たる
ゆえんなのです。）
それは－1という数1個を(1)に入れるか(2)に入れるかということと
3という数1個を(2)に入れるか(3)に入れるかということです。
これを入れる場合にイコール（＝）を付けます。
入れ方は、特別な条件がなければ問題を作る人の自由です。
（ここではそうしておきます。）
例題では、
（１）X＜-1　（２）-1＜＝X＜3　（３）3＜＝X
ですので、数の－1を（２）に入れていますね。
3は（３）に入れていますね。
（1）には-1という数は入っていませんということで　
X＜-1　になっているわけです。
（２）は数の-1が入って、数の3は入っていない
-1＜＝X＜3　という表現になっていますね。

補足説明まで、理解できたかな？

お礼

(2)－1より大きくて３より小さい数

なんですが、まだここでつまっております。確かに数直線にするとわかるのですが、一緒にしてしまうのがどうもしっくりきてないんです。

もしかしたらもういっこの概念として、かかれてあるかもしれないのですが、
意外とむずかしいです。
またご教授頂けると幸いです。