絶対値がなんなのか、さっぱりわかりません。

質問

|x|=x,-x
ということや
|x+3|=x+3,-x-3
ということはわかるのですが、たぶん。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=295764

｜X+1｜＋｜X-3｜とかの場合、
（１）X＜-1　（２）-1＜＝X＜3　（３）3＜＝X
に場合分けされますがよく理解できません。

x<-1はx+1をx=-1に移行したもののような気がしますし、
-1＜＝X＜3は、（１）にx=3を不等号つけて並べかえたもののようです。
（１）が|x+1|を利用しているのに（２）には｜X+1｜と｜X-3｜を使っています。なぜでしょう？

さらに、-1＜＝X＜3は以上（＜＝）やより以下（＜）になってたりします？？？
というわけで場合分けがどうやるものか？なんなのか？わかりません。

（３）は省略。

数直線にするや関数にして図に書き込むというのも読んだのですが、
イメージがわきません。

根本的にわかっていなくて、質問がむずかしいのですが、場合わけ
はどこでひっかりやすいのでしょうか？
わかりやすく教えてくださる方、絶対値とはなんなのか？、場合分けする方法
など教えてください。

回答No.1

TK0318

絶対値そのものはわかっていらっしゃいますよね？
絶対値の中が正ならばそのまま、負なら符号を変えます

例
|4|=4
|-5|=5

まずここからいきましょう。
|x|
ここで
x<0なら絶対値の中は負になりますので-x
x>=0なら絶対値の中は正なのでx
になります。
０はどっちでもいいのですが大抵は正側にします。

次に|x+1|を考えてみましょう。
このとき
x<-1なら絶対値の中は負ですので-(x+1)
x>=-1なら絶対値の中は正ですのでx+1
同じように|x-3|を考えると
x<3なら絶対値の中は負ですので-(x-3)
x>=3なら絶対値の中は正ですのでx-3
となります。

さてここで本題の
｜X+1｜＋｜X-3｜
を考えてみましょう。絶対値があると計算できないので外さないといけません。先ほど考えたように左側は
x<-1なら絶対値の中は負ですので-(x+1)
x>=-1なら絶対値の中は正ですのでx+1
右側は
x<3なら絶対値の中は負ですので-(x-3)
x>=3なら絶対値の中は正ですのでx-3
となります。
このことを組み合わせると
１　x<-1なら|x+1|,|x-3|の中身は両方とも負ですので
-(x+1)-(x-3)=-2x+2
２　-1<=x<3なら|x+1|の中身は正、|x-3|の中身は負ですので
(x+1)-(x-3)=4
３　3<=xなら|x+1|,|x-3|の中身は両方とも正ですので
(x+1)+(x-3)=2x-2

となります。
分からなかったら補足に書いてください。

お礼

絶対値そのものに関してはわかりました。
あと場合分けもわかってきたのですが、もうちょいなんです。＃３のお礼欄
に書いてありますが、またご教授頂けると幸いです。