ベクトルの証明問題なのですが・・

質問

週明けに提出しなければならない問題なのですが、
証明問題の解答の仕方がよくわかりません。
つきましては、
以下に現時点での解答を示しましたので
そこでの間違い、不十分な点を指摘して頂ければ有難いです。
どうぞよろしくお願いいたしますm(_ _)m

＜問＞
→
0でない2つのベクトルa、b（以下、a、b上には
「→」があるものと思ってください・・・）
に対して、
a⊥b⇔｜a＋b｜＝｜a－b｜
を証明しなさい。

＜解答＞

左辺を2乗すると、
｜a＋b｜^2
＝（a＋b）（a＋b）
＝a・a＋a・b＋b・a＋b・b
＝｜a｜^2＋2a・b＋｜b｜^2
ここで、a⊥bよりa・b＝0なので、
＝｜a｜^2＋｜b｜^2…(1)

右辺を2乗すると、
｜a－b｜^2
＝（a－b）（a－b）
＝a・a－a・b－b・a＋b・b
＝｜a｜^2－2a・b＋｜b｜^2
ここで、a⊥bよりa・b＝0なので、
＝｜a｜^2＋｜b｜^2…(2)

(1)、(2)より、
a⊥bならば、｜a＋b｜＝｜a－b｜は成り立つ。

ここまでが、a⊥b⇒｜a＋b｜＝｜a－b｜の証明で、
逆の場合の｜a＋b｜＝｜a－b｜⇒a⊥bについては・・・

左辺を2乗すると、
｜a＋b｜^2
＝（a＋b）（a＋b）
＝a・a＋a・b＋b・a＋b・b
＝｜a｜^2＋2a・b＋｜b｜^2…(1)

右辺を2乗すると、
｜a－b｜^2
＝（a－b）（a－b）
＝a・a－a・b－b・a＋b・b
＝｜a｜^2－2a・b＋｜b｜^2…(2)

｜a＋b｜＝｜a－b｜より、
(1)＝(2)が成り立つには
2a・b＝－2a・bでなければならない。
よって、4a・b＝0
a・b＝0

したがって、｜a＋b｜＝｜a－b｜ならば、a⊥bが成り立つ。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

ほぼ完全に正しいですが, 気がついた点を少々.
＞＝（a＋b）（a＋b）
＞＝（a－b）（a－b）
これらは,内積を表す"・"が必要で,
(a+b)・(a+b), (a-b)・(a-b)
などです.

＞a・b＝0
＞したがって、｜a＋b｜＝｜a－b｜ならば、a⊥bが成り立つ。
証明問題では(たとえ問題文にあっても)必要なところで用いた条件を述べる必要があって,
『a・b＝0 で, (→省略)a,bは0ベクトルでないから, a⊥bが成り立つ。』
というように話を運ばないと, 揚げ足を取られたりします.
(0ベクトルだと, 高校数学では直交とは言わないので, 別扱い.)

お礼

ご説明ありがとうございました！
自分ひとりでやってますと、
根本を理解できてないものですから・・
証明でもついなんとなく書いてしまうのでよく叱られます(^^;
自分の気付けない不備を指摘して頂けて助かりました。

回答No.2

oshiete_goo

もっと安直な解答としては(あまり最初から悪いことを教えてはいけない?)

[証明]
｜a＋b｜＝｜a－b｜ (≧0)
⇔｜a＋b|^2＝｜a－b|^2 　(上式は両辺０以上より，２乗しても同値)
[⇔(a+b)・(a+b)＝(a-b)・(a-b) ](省略可)
⇔|a|^2+2a・b+|b|^2=|a|^2-2a・b+|b|^2
[⇔2a・b=-2a・b]
⇔4a・b=0
⇔a・b=0
⇔a⊥b (∵|a|≠0, |b|≠0)

よって題意は示された.

お礼

模範解答も頂けて本当に助かりました。
ぜひぜひ参考にさせていただきますm(_ _)m
どうもありがとうございました！