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ベクトル証明問題
青チャート2+Bのベクトル分野の練習問題なのですが、 証明題なので答えが省略されていてわかりません。わかる方、証明過程を教えてください。 問題 (2a+3b)//(a-4b) , a≠0 , b≠0 , a≠bのとき、 a//bであることを示せ。 (※a,b,0のうえには→がついてます。) よろしくおねがいします
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仮定のうち,a≠bを省いて証明します. (証)p=2a+3b,q=a-4bとおくと,p//qより, (1)q=kp(k≠0,p≠0) となる実数kが存在する.a,bをp,qで表してこの式を使うと, a=(4p+3q)/11=(4p+3kp)/11=(3p/11)(k+4/3) b=(p-2q)/11=(p/11)(1-2k) p≠0であるから,a≠0,b≠0であるためにはk≠-4/3,k≠1/2となる.こうして, b={(1-2k)/(3k+4)}a とかけて,(1-2k)/(3k+4)≠0であるから,a//bである.(終) ※a=bとなりうるのは,k=-3/5の場合です.だから省きました.
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- ereserve67
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ANo.2です.以下の2式 a=(4p+3q)/11=(4p+3kp)/11=(3p/11)(k+4/3) b=(p-2q)/11=(p/11)(1-2k) からp≠0を消去するだけです.具体的には,第1式からp=11a/{3(k+4/3)}=11a/(3k+4)を第2式に代入して, b=[{11a/(3k+4)}/11](1-2k)=[a/(3k+4)](1-2k)={(1-2k)/(3k+4)}a となります.
お礼
やっと理解できました!分かりやすい説明ありがとうございます
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
ベクトル x,y が平行ならば、x,y の一次結合も x,y に平行です。 (x // y ⇒ x // y // αx+βy, α,βはスカラー) これを使って、 2a+3b // a-4b // (4//11)(2a+3b)+(3/11)(a-4b) // (1/11)(2a+3b)+(-2/11)(a-4b) が言えます。 右のほうの2個のベクトルを、括弧を展開して整理してみましょう。
お礼
ご回答ありがとうございます。 (4/11)(2a+3b)+(3/11)(a-4b) の出し方がいまいちわからないのですがいろいろ検索して調べてみます。
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