正射影の問題です

質問

空間内に平面αがある。一辺の長さが１の正四面体Ｖのα上への正射影の面積をＳとし、
Ｖがいろいろと位置を変えるときのＳの最大値と最小値をもとめよ、

ただし空間の点Ｐを通ってαに垂直な直線がαと交わる点をＰのα上へｎ正射影といい、
空間図形Ｆの各点αへの正射影全体のつくるα上の図形をＶのαへの正射影という。

「http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1113861766　yahooで聞くとこうだったのですが、
（１）「4面体の対辺の距離でもあります」とあったのですが、その距離はどのようにして求めたらいいですか。
（２）「一つを平行移動して正方形にしても，正射影の4角形の面積に変化はありません．」というのは、三角形の片側の高さが減っても片側が同じ分高さが増えるからでしょうか。
（３）「この正方形の正射影は平行四辺形になりますが，
最大はαと平行な状態で面積は１/２です．」とありますが、これは平行四辺形の対角線がどちらも１だからですよね？

その他意見がありましたらよろしくおねがいします・・・。 」

「」内のことは触れずに普通に回答がもらえても感謝感激です…。

回答No.1

age_momo

（１）「4面体の対辺の距離でもあります」とあったのですが、その距離はどのようにして求めたらいいですか。

きちんとした出し方はともかく、ABとCDの距離を考えるのならABの中点をMとすると
CDMで切り取って考えれば3辺が√3/2,√3/2,1/2の二等辺三角形ができます。
この三角形の高さを考えればいいです。√(3/4-1/4)=1/√2です。

（２）「一つを平行移動して正方形にしても，正射影の4角形の面積に変化はありません．」というのは、三角形の片側の高さが減っても片側が同じ分高さが増えるからでしょうか。

違います。ここで言っているのはおそらく立体を押しつぶして単なる正方形にして
しまっても正射影に影響はない。だから後はこの正方形を回転させて考える。と言うことだと思います。

（３）「この正方形の正射影は平行四辺形になりますが，
最大はαと平行な状態で面積は１/２です．」とありますが、これは平行四辺形の対角線がどちらも１だからですよね？

そうです。