⊂と⊆の違い

質問

今数学の勉強をしています。
初歩的な質問ですが、

Ａ⊆Ｂ
と
Ａ⊂Ｂ

は意味が違うのですか？
本等による記載方法の違いなのでしょうか？

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

⊆と⊂は同じ意味です。
A≠B、すなわち、AがBに真に含まれるということを書きたい場合は、
⊂の下に≠を付けた記号で表します。
（ここでは文字化けして出せない。棒は一本でも二本でも同じ意味です。）

U(x)がxの近傍といった場合、xを含む開集合のことなので、U(x)=Aでも
構わないということになります。
Aが開集合とは、A内の任意のxに対する、ある近傍U(x)がAに含まれる
ということですので、U(x)としてAが取れることがわかれば、Aは即
開集合といえます。

お礼

ありがとうございます。
すべての疑問がすっきりしました。
とても分かりやすく説明していただいて本当にありがとうございました。

回答No.6

nobinobita1980

ANo.4さんのおっしゃる通りだと思います。

お礼

ご丁寧に、ありがとうございました。

回答No.5

nobinobita1980

こんばんは。
ANo.1の補足にある（1）と（2）が気になったのですが、
“x∈Ａ”（xはＡの真部分集合）ということなので
（1）も（2）も“ε近傍”で考えると“ＡはＸの開集合である”と言えるのではないでしょうか。
（どちらも焦点は開集合にあるのでこの場合⊆でも⊂でも話は通ります。ANo.1さんの言う文脈とはそういうことだと思います。）

⊂と⊆は今回の（1）と（2）のように同じ意味のように見えることもありますが、⊆と⊂は違います。

Ａ⊆Ｂ　は　AはBの部分集合　ですが
Ａ⊂Ｂ　が　AはBの真部分集合　です。

お礼

ご丁寧に、ありがとうございました。
もう少し勉強します☆！

回答No.3

kabaokaba

koku_uさんが仰ってることですべてです．

>本等による記載方法の違いなのでしょうか？
それだけです．

>⊂の場合は、Ａ≠Ｂの場合もありうることを示していて、
>⊆の場合は、Ａ≠Ｂの場合はないことを示しているのではないのですか？

これは明らかに勘違いしています．
⊆の場合はA=Bも許容します．
そして，⊂の場合は微妙ですが，普通はA=Bも許容します．
例外的なケースとして，⊂はA=Bのケースを排除しますが，
この場合はほとんどありません．

文脈で判断しなければいけませんが，
⊆，⊂を混在させたり，違う意味で用いている本は
個人的には信用できません．
一般的には両者は同義で使われ，
等しい場合を排除したければ，誤解をさけるためにも
明示されることが多いです．

お礼

ありがとうございます。
とてもすっきり解決することができました。

回答No.2

koko_u_

>Ｕ(x)＝Ａなのですか？
まったくご理解いただけなかったようですね。
A ⊂ B なる言明は A = B の場合も含むということです。

補足の内容を常識的に読めば、両者の包含記号が同じ意味で用いられていることは明らかです。
それが文脈から読み取るということです。

お礼

ありがとうございます。

補足

ありがとうございます。
質問の仕方がいけませんでした。

⊂も⊆も、意味として
Ａ＝Ｂの場合も含んでいることはわかりました。

ただ、今疑問に思っていることは、

⊂の場合は、Ａ≠Ｂの場合もありうることを示していて、
⊆の場合は、Ａ≠Ｂの場合はないことを示しているのではないのですか？

ということなんです。

回答No.1

koko_u_

文脈によって決まりますが、大抵同じ意味です。(もちろん、A = B の場合を含む)

お礼

すぐの回答ありがとうございます☆！

補足

開集合の定義を勉強していたのですが、私はＵ(x)≠Ａであると思っていたのですが、
※　Ｕ(x)：xのε近傍

ある本には、

ある全体集合Ｘの部分集合Ａが開集合である条件に、
(1)「x∈Ａおいて、Ｕ(x)⊆Ａを満たすxのε近傍が存在するとき、ＡはＸの開集合である」

と書いてあるのに、また別の本には

(2)「x∈Ａおいて、Ｕ(x)⊂Ａを満たすxのε近傍が存在するとき、ＡはＸの開集合である」

と書いてありました。
Ｕ(x)＝Ａなのですか？