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外心と内心、もしくは重心と外心が一致する三角形の証明
Tacosanの回答
△ABC の外心, 内心, 重心をそれぞれ O, I, G とします. ・O = I: O から辺AB, BC に垂線 OD, OE をひきます. O は外心なので |OD| = |AB|/2, |OE| = |BC|/2 です. 一方, O は内心でもあるので OB は∠ABC の二等分線でもあります. つまり∠OBD = ∠OBE. これで△OBD ≡ △OBE が証明できます. つまり |OD| = |OE| だから |AB| = |BC|. 同様に |BC| = |CA| も成り立つので △ABC は正三角形. ・O = G: こっちはもっと簡単で, O から AB に垂線をひくと, これは C を通ります. つまり, |CA| = |CB|. 同様に |AB| = |AC| だから正三角形.
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