助けて下さい。数学です。

質問

a≧０ ｂ≧０ ｃ＞０ とする。方程式x^3-ax^2-bx-c=0 は、必ず正の解をもち、かつ正の解はただ一つであることを示せ。

答えにはｂ＝０とｂ＞０で場合分けしているのですが

よくわかりません。分かりやすく解説してくれるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

proto

証明問題ですか。
いきなり証明しようとしても何を示せばいいかわからないと思います。

まずは頭を整理して何を示せばいいか考えましょう。

3次関数の概形のグラフが描けますか？
まず『必ず正の解をもち、かつ正の解はただ一つである』という条件を満たすにはグラフがどのような形でないといけないか考えましょう。

3次関数のグラフを形から分類すると概ね次のようになると思います。
・x^3の係数の符号によって、大きく見て右上がりor右下がり
・極値の取り方によって、山の数が0or2
・x軸を横切る回数によって、実数解の個数が1or3
・グラフの形とy切片によって、正の解の個数が0～3
このことを頭に置いて、問題の条件を満たすためにはグラフの形がどのようでなければならないかを書き出します。

最終的にa≧0,b≧0,c＞0であれば求められる条件を満たすことがわかればそれが証明になります。

回答No.1

Meowth

これは絶対けされる。

知恵袋におんなじもんだいとこたえがでている。

f(x)=x^3-ax^2-bx-c=0
f(0)=-c＜0
ｆ（∞)＞０
だから少なくとも１つ正の解をもつ。
f'(x)=3x^2-2ax-b
f'0)=-b≦0
b=0のとき
ｙ＝f(ｘ）はx＞1で単調増加関数
また、b>0のとき
f’(x)＝0は ｘ＜0、x＞0に１つづつ解をもつので、
ｘ＞０の解をαとすれば
0＜x＜αで f’(x)＜0
ｘ＞αでf’(x)＞0
となるので、
0≦x≦α で f(x)＜0
したがって、この間に解はなく、
f(α）＜0
x＞αではｙ＝f(x)は単調増加、
f(∞）＞０なので
ｘ＞αに１つ解をもつ。
以上より、
必ず正の解をもち、かつ正の解はただ一つ