円に外接する四角形

質問

円Ｏに四角形ＡＢＣＤが、点Ａ’、Ｂ’、Ｃ’、Ｄ’で外接しています。このとき、円の半径rをa、b、c、dで表しなさい。a=A'B、b=B'C、c=C'D、d=D'Aとする。

A'B=BB'=a、B'C=CC'=b、C'D=DD'=c、D'A=AA'=dは分かったのですが、この後、どうやって半径を求めたらよいのか分からず、行き詰ってしまいました。
アドバイスお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

そうですね。
∠D'OA=∠AOA'=α、∠A'OB=∠BOB'=β、∠B'OC=∠COC'=γ、
∠C'OD=∠DOD'=δ
とすれば、2α=2β=2γ=2δ=2πからα+β+γ+δ=πで、tanπ=0
0=tan(α+β+γ+δ)
={tan(α+β)+tan(γ+δ)}/{1-tan(α+β)tan(γ+δ)}
よって分子が0なので、
tan(α+β)+tan(γ+δ)
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)+(tanγ+tanδ)/(1-tanγtanδ)
ここで、tanα=a/r、tanβ=b/r、tanγ=c/r、tanδ=d/rだから、
代入して整理すると、
(a+b+c+d)r^2=abcd(1/a+1/b+1/c+1/d)
r=√(abcd)√(1/a+1/b+1/c+1/d)/√(a+b+c+d)
これを先に出したr=√{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}sinθ/(a+b+c+d)
と比べると、
sinθ
=√(abcd)√(a+b+c+d)√(1/a+1/b+1/c+1/d)/√{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}
となる。
計算は何となく自信がないですが・・・
でも、a=b=c=dとして、正方形の場合を考えると、sinθ=1となって、
θ=π/2になるので、合っている気はする。
この式は対称ですっきりしているが、幾何的にどうなっているのかわか
らないので、その辺がいま一つすっきりしないが・・・
質問者ではないが、幾何的な意味が分かれば教えていただきたいと思う。

回答No.4

tecchan22

＞＃３

同じことだが、

r^2 = (abc+abd+acd+bcd)/(a+b+c+d)

と書いてもいいですね。

図形的意味は分かりません。

初等的な解法・理解が出来ると嬉しいが、あんまり綺麗なので、僕はこれで満足しちゃいました。

回答No.2

tecchan22

∠ＢＯＢ’＝θ１
∠ＣＯＣ’＝θ２
∠ＤＯＤ’＝θ３
∠ＡＯＡ’＝θ４
とすると、θ１～θ４の和は、１８０°ですよね。
あとは、タンジェントの加法定理から出ます。

綺麗な対称式になりますよ！

回答No.1

zk43

完全解決ではないですが、御参考に。

四角形の面積に着目して計算を進めます。
一般的に四角形ABCDの面積Sは、θ=(∠A＋∠C)/2、
s=(AB+BC+CD+DA)/2として、
S=√{(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-DA)-AB・BC・CD・DAcos^2θ}
と表せる。
（四角形を△ABDと△CBDに分けて考え、余弦定理を使う。）
四角形が円に外接しているときは、AB+CD=BC+DAにより、
s=AB+CD=BC+DAとなることから、s-AB=CD,s-BC=DA,s-CD=AB,s-DA=BC
となり、
S=√{AB・BC・CD・DA-AB・BC・CD・DAcos^2θ}
=√{AB・BC・CD・DA}sinθ
=√{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}sinθ
となる。
四角形の内角の和は2πだから、(∠B+∠D)/2=θとしても同じ。

一方で、
S=△OAB+△OBC+△OCD+△ODA
=AB・r/2+BC・r/2+CD・r+DA・r/2
=(AB+BC+CD+DA)・r/2
=(2a+2b+2c+2d)・r/2
=(a+b+c+d)r

よって、
r=√{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}sinθ/(a+b+c+d)
となるのだが、sinθの部分がa,b,c,dで表わせていない。

四角形がさらに円に内接している場合ならば、∠A+∠C=πよりθ=π/2
でsinπ/2=1だから、
r=√{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}/(a+b+c+d)
となるのだが。

sinθをa,b,c,dで表せるのか、あるいは違う考え方で導くのか？