カイ二乗分布のE(e^(tX))の求め方
- カイ二乗分布に従う確率変数Xの期待値E(e^(tX))を求める方法について解説します。
- カイ二乗分布の性質を利用して、E(e^(tX))を計算する手順を詳しく説明します。
- カイ二乗分布の積率を求める際に一般的に使用される確率密度関数を活用し、目標の値を求める方法を紹介します。
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カイ二乗分布
確率変数Xが自由度nのカイ二乗分布に従うとき φ(t) = E(e^(tX))を求めよ という問題に取り組んでいます。 以下のように考えました。 Xがカイ二乗分布に従うので X = X1^2 + X2^2 + X3^2 + ... + Xn^2 とおけば E(e^(tX)) =E( e^(t(X1^2 + X2^2 + X3^2 + ... + Xn^2 ))) =E(Π(1->n) e^(t(Xi^2)) ) = Π(1->n) E( e^(t(Xi^2)) = (∫(-∞->∞) e^(tx^2) f(x) dx )^n (ここでf(x) は標準正規分布N(0 1)の確率密度関数) = (∫e^(tx^2) * (1/√（2π)) e^(-x^2) dx ) ^n とここまで計算できたのですが、 この後が計算できません。 ネット上で調べたのですが、カイ二乗分布の積率を求めるときは たいてい、カイ二乗分布の確率密度関数を使っています。 上記の計算で 解きたいのですが アドバイスをいただけないでしょうか。 お願いします。
- ilnmfay
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標準正規分布の確率密度関数が微妙に違う気がします。 expの中身は、-x^2ではなくて、-x^2/2 ですよ。 で、肝心の積分ですが、つまり、 exp( (t-1/2)x^2 ) が(-∞,∞)の範囲で積分できればいいですね。 大学生ならすぐにできて欲しいですが、いわゆるガウス積分というやつです。 ただし、発散しないためには、明らかに、Re[t-1/2] < 0 という条件が必要ですが。
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