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二つの円の重なっている部分の面積
半径r1,r2の二つの円があって、その中心間の距離をdとするとき、二つの円が重なっている部分の面積は、r1,r2,dの関数としてどのように表すことができるでしょうか。 重なっている部分の面積Sは、 S = r1*r1 (θ1 + sinθ1 * cosθ1) + r2*r2 (θ2 + sinθ2 * cosθ2) cosθ1 = a / r1 cosθ2 = b / r2 d = a + b として表すことができるのですが、式が4つありますので、θ1,θ2,a,bを消して、 Sをr1,r2,dの関数として表すことができると思うのですが、 どのようになりますでしょうか。
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(余弦定理と面積の公式でやったので、a,bが出てきて ませんが、ご了承を。) 求める面積は、扇形2つの和から半径だけでできた四角形 の面積を引けばよいから (四角形の面積は、例えば1/2*r1*d*sinθ1*2でdr1sinθ1) S=r1^2θ1+r2^2θ2-dr1sinθ1 余弦定理から、 cosθ1=(d^2+r1^2-r2^2)/(2dr1) cosθ2=(d^2+r2^2-r1^2)/(2dr2) cosθ1から、 sinθ1=・・=(1/(2dr1))√{4d^2r1^2-(d^2+r1^2-r2^2)^2} 以上より、 S=r1^2arccos{(d^2+r1^2-r2^2)/(2dr1)} +r2^2arccos{(d^2+r2^2-r1^2)/(2dr2)} -(1/2)√{4d^2r1^2-(d^2+r1^2-r2^2)^2}
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a,bに入れ忘れました。 S=r1^2{arccos([d+(r1^2-r2^2)/d]/2/r1)} +r2^2{arccos([d+(r2^2-r1^2)/d]/2/r2)} -√[{2(r1^2+r2^2)-d^2}d^2-(r1^2-r2^2)^2]
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お礼
早速のご回答ありがとうございます。 大変助かりました。 この形ですと、d=の形に直すことは無理そうですね。
- Meowth
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S = r1*r1 (θ1 - sinθ1 * cosθ1) + r2*r2 (θ2 - sinθ2 * cosθ2) と符号が反対です。 円の交点A、Bを結ぶ直線と中心を通る直線の交点をMとする。AM=x、OM=a O'M=b,角AOM=θ1、角AO'M=θ2とすると、三平方の定理から x^2=r1^2-a^2=r2^2-b^2 r1^2-r2^2=a^2-b^2=(a-b)(a+b)=d(a-b) a-b=(r1^2-r2^2)/d a+b=dから、 a=[d+(r1^2-r2^2)/d]/2 b=[d+(r2^2-r1^2)/d]/2 (2xd)^2={2(r1^2+r2^2)-d^2}d^2-(r1^2-r2^2)^2 S=r1^2θ1+r2^2θ2-2xd θ1=arccos(a/r1) θ2=arccos(b/r2) S=r1^2θ1+r2^2θ2-2xd しいて代入すれば、 S=r1^2{arccos(a/r1)}+r2^2{arccos(b/r2)} -√[{2(r1^2+r2^2)-d^2}d^2-(r1^2-r2^2)^2]
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補足
#3の方のご回答から推察しますと、 S=r1^2θ1+r2^2θ2-2xd の部分は S=r1^2θ1+r2^2θ2-xd になりますね。
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