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位置従属であることの証明

Rnのベクトルたちの組v1、v2、…、vkに対して、以下の(a)と(b)は同値であることを証明せよ。 (a)v1、v2、…、vkが一次従属である。 (b)vi∈<v1、v2、…、vi‐1、vi+1、・・・、vk>が成り立つi  (ただし1≦i≦k)が存在する。 この問題はどのように証明すればいいんですか?? 同値であることを証明するっていうことは、(a)ならば(b)、(b)ならば(a)がなりたつことを証明しすればいいのはわかるんですが、どのように証明すればいいのかわかりません。 お願いします。

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  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.2

a→b v1、v2、…、vkが一次従属であるならば、少なくとも1つは0でない a1、a2、…、akによって、 a1v1+a2v2+…+akvk=0 と表せる。 例えばあるaiが0でないとすると、 aivi=-a1v1-…-a(i-1)v(i-1)-a(i+1)v(i+1)-…-akvk と表せる。 aiで割れば、viがv1、…、v(i-1)、v(i+1)、…、vkの線形結合で表せる。 すなわち、vi∈<v1、v2、…、vi‐1、vi+1、・・・、vk> b→a vi∈<v1、v2、…、vi‐1、vi+1、・・・、vk> ならば、vi=a1v1+…+a(i-1)v(i-1)+a(i+1)v(i+1)+…+akvk すなわち、a1v1+…+a(i-1)v(i-1)-vi+a(i+1)v(i+1)+…+akvk=0 と表せる。 viの係数は0でないので、これは、v1、v2、…、vkが一次従属である ことを意味する。

ruikiti
質問者

お礼

丁寧にありがとうございます。

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その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

どちらの向きも, 「仮定していること」が式に書ければほぼ明らかだと思います.

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