実効値の式になぜ√がつくのですか

質問

実効値の公式は、最大値/√２でコレだけ覚えていれば通常計算できすが、もとは√（1/T×ある時間からある時間までのIの２乗を時間tで積分したもの）です。 この√は何ですか？
実効値は電力を表すもので、P＝Iの２乗*抵抗なのでそのためと習ったのですが・・・

回答No.3

Meowth

この√は何ですか？　　結論を先に言えば、これは時間平均したときに出てくる数字です。正弦曲線を2乗平均の意味でならすと最大値の1/√2になるということです。

交流電流は正弦波なのでただ平均すると　＋側と-側が打ち消しあって０
になってしまいます。
そこで、１つの方法としては、リンク後半にあるように、|I|や｜V|の平均値として定義されますが、実際にはこのように定義する値より役に立つ”平均”（2乗平均）を使います。

なぜ、2乗平均の方がいいのか？

最大値Imaxについてみると、正弦波なので、大方はこの値より小さいことになり、実感のIとしては大きすぎてしまいます。
そこで、なにか、実感と一致するような”平均値”を定義できると都合がいいことになります。
そこで、I の”平均値”をすぐに決める前に、電力を考えます。
（このため、質問のように、もともとはPからでているということになる）
P=IVで瞬間電力が出ますが、これも正弦波で変化しています。平均は０でPはありませんが。
そこで、I,V P の適当な”平均”を定義して、これが、直流のときと同じように、瞬間だけでなく”平均”電圧Vで”平均”電流Iを流したときの”平均”電力になれば都合がいいでしょう。
そこで、この平均を計算することにします。面倒くさいことに、IとVに位相差があり（最大になるところが一致しないと）値がかわってくるので、
まず、位相がない場合、すなわち、負荷が抵抗Rだけの場合を考えます。
そのときV=IRなので、P=I^2×Rの平均を計算します。それが、
Pの平均＝（1/T×ある時間からある時間までのIの２乗を時間tで積分したもの）×R
で
I(実効値）＝√（1/T×ある時間からある時間までのIの２乗を時間tで積分したもの）
と定義すれば、
平均電力＝Pの平均＝I(実効値）＊R＝I(実効値）＾２×R
となり、直流のときと同じ式が成り立つことになります。
積分はNo1のリンクのとおりですが、
結果は、
I(実効値）＝Imax/√2
となります。
同様に位相差がないときに　P＝V^2/Rが直流のときと同じように成り立つように決めれば、Vの2乗の時間平均の平方根をV(実効値）と決めれば、
平均電力＝Pの平均＝V(実効値）＾2/R
が成り立つようになります。

√P/R＝最大値／√2だと。
の意味がよくわかりませんが、
平均電力P＝I(実効値）＾２×R
から求める式のことでしょうか。だとすれば、
√{平均電力P/R}=I(実効値）=IImax/√2
です。
ようするに、位相差がない場合（負荷が抵抗だけのときは、最大値がImax,Vmaxの電流と電圧は、あたかも、I(実効値）、V(実効値）の直流電流と直流電圧のように振舞う。ということです。ただの平均と区別して、実効
とつけます。

お礼

ありがとうございます。上の方のＵＲＬで解決しました。それと合わせて確認します。

補足

平均値のように半周期でなく、1周期で測るのは、負の部分でも正の部分と同じ仕事（電力）をしたことになるからですか？

回答No.2

BookerL

V=V0sinωt という交流電圧が 抵抗値Ｒの抵抗に加わるとします。電流は、I=(V0/R)sinωt=I0sinωt になり、この抵抗で消費される電力は P=VI=V0I0(sinωt)^2 です。

　電力も当然時間的に変化しますが、その平均は V0I0/2 です。
（Ｐの式を時間ｔで１周期分積分して、周期で割れば出ます。または V0I0(sinωt)^2=(V0I0/2)(1-2cosωt) と半角公式で変形して、cosのところは時間平均が ０ になるので、P の平均は V0I0/2 、としてもいいですね）

　さて、P の平均 V0I0/2 と、P=VI を比べると、電圧の最大値 V0 に対して、実効値を Ve=V0/√2 、電流の最大値 I0 に対して、実効値を Ie=I0/√2 と定義してやれば、

P=VeIe

と表されることになります。つまり交流でも「平均」で考えると「電力＝電圧×電流」と表すことができるわけです。

　つまり、最大電圧 140V の交流電圧は、抵抗に加わるとき、「平均して」 100V 分のはたらきを持つ、という風にとらえることができるわけです。

お礼

ありがとうございます。回答からまた疑問が浮んだので復習したいと思います。

補足

ｖ~2T*/R=∫v~2/Rｄｔがそのあとでｖ~2T=∫v~2ｄｔでＲが消えるのは、右辺のＲを∫の外に出し、両辺にＲをかけたですか？

回答No.1

noname#43018

まさに「P＝Iの２乗*抵抗なのでそのため」なのです。
この式から、I=√(P/抵抗) となりますね。
ここで出てくる√が、御質問の√です。

失礼ながら、もしかしたら、電力の平均値と電流／電圧の実効値をごちゃごちゃに理解されているでしょうか。
はずしていたら、大変恥ずかしいのですが、実用上、交流のある瞬間の電力を知っても、つまらないですよね。むしろ、興味があるのは平均していったいどれくらいの電力なのか、ということです。

電力Pは P=抵抗×I(t)^2 で、これを時間tで一周期Tの分だけ積分して、Tで割ると平均が出ます。それを I=・・・・ の形にするすると（これが電流の実効値ですが）、「P＝Iの２乗*抵抗なので」√が表れます。

実際の生活で、交流といえば正弦波にきまっています。ですから、いちいち平均電力からもとめなくても、最大電流/√２が電流の実効値で、最大電圧/√２が実効電圧とわかっていれば、大概の計算は4則演算だけですむというわけです。

ここに数式をずらずら書いても単に読みにくくなるので、リンクをはっておきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E5%8A%B9%E5%80%A4

やっぱり、質問の趣旨をはずしてますかね？

お礼

ありがとうございます。回答を締め切らせていただきます。

補足

√（1/T×ある時間からある時間までのIの２乗を時間tで積分したもの）・・・I=最大値／√2はもとはP＝でも表せるということですか？
√P/R＝最大値／√2だと。