量子力学の固有値の問題です。

質問

量子力学の固有値の問題で、解き方がわかりません。
問題
　2状態からなる系のハミルトニアンが以下のように与えられている。
　　　Ｈ=g( |1><1| - |2><2| + |1><2| + |2><1| )
　このハミルトニアンの固有値、固有状態を求めよ。

というものです。ちなみに、Ｈは演算子です。
どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えてください。
よろしくお願いします。m(__)m

回答No.3

connykelly · ベストアンサー

>Hが実際に行列で与えられていれば解くことができるのですが

２状態ですから基本状態｜１＞、｜２＞のケットをマトリクスで成分表記します。これらは座標系における基底ベクトルと同じなので、次のように書けますね。
｜１＞＝（１　　　　＜１｜＝（１，０）
　　　　　　０）
｜２＞＝（０　　　　＜２｜＝（０，１）
　　　　　　１）
これから与えられたHamiltonianをマトリクス表記するわけですが、ケットとブラのマトリクス演算をしてやると
｜１＞＜１｜＝（１　０
　　　　　　　　　　　０　１）
となりますね。同様に他の演算を進めていくと結局与えられたHamiltonian次のマトリクスで書けることにります。
Ｈ＝ｇ（１　　１
　　　　１　－１）

お礼

|1>や|2>が任意の基底ベクトルなのでこうできるのですよね？
こういう解き方があったんですねw(☆o◎)w
とてもよくわかりました。早速解いてみたいと思います。
どうもありがとうございました♪(*^Ｕ^*)♪

回答No.4

connykelly

お節介とは思いましたが，折角ですから固有値，固有状態の求め方の粗筋を記しておきます。
固有状態を
｜α＞＝（α１
　　　　　α２）
固有値をＥとするとＨ｜α＞＝Ｅ｜α＞より（以下ｇは面倒だから省略しています）
（１－Ｅ　　１　　　　　（α１
　　１　　－１－Ｅ）　　α２）＝０
固有方程式は上式の左のマトリクスの行列式＝０よりＥ＝±√2。固有状態は上式にＥの値(√2)を代入してα１，α２を求めると
(α１＝（１
α２）　－１＋√２）
これを規格化してＥ＝√2の場合の固有状態が得られます。自ら計算してください。E=-√2の場合も同様にします。

お礼

ご親切にどうもありがとうございました！！
計算頑張ってみたいと思います。（^U^*）

回答No.2

snow16

実際に行列で与えられていれば解けるというのであれば、
Hの行列要素を求めればいいんじゃない？
|1>, |2>が正規直交系を成していれば、
それを基底にとったばあいの行列要素は簡単に求められるでしょう？

回答No.1

noname#69788

課題の丸投げは削除されますよ。HΨ=EΨです。

補足

すいません。課題を解くヒントになるかと思い、この問題を質問しました。
HΨ=EΨという式は知っていました。
Hが実際に行列で与えられていれば解くことができるのですが、そうでないとうまくできません。もしよろしければ、その解き方を教えてください。いろいろ探したのですが、探し方が悪いのか、見つけられなかったもので…