面積についての矛盾(?)

質問

はじめまして。
現在高2です。
他の掲示板で質問をしていたのですが、満足のいく返信が来なかったためここで質問させてください。

0≦x≦1で、f(x)≧0を満たす関数f(x)について、f(x),x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sは、
S:=∫_0^1 f(x)dx=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {1/n f(k/n)}
と定義できますが（多分あってると思います）、
a≠b,b→a として、y=b,x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sを考えれば、
明らかにS=b

ところで、上の定義に従えば、
S=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {b/n}
で、これは
n→∞について、

Σ_{k=1}^n {b/n}→bが成り立つことを示している。
ここで、b→aなので、
Σ_{k=1}^n {b/n}→b→a
Σ_{k=1}^n {b/n}→a

つまり、
n→∞について、
Σ_{k=1}^n {b/n}→a
が成り立つことを示している。

よって
S=lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n {b/n}=a
ゆえに、S=b=a

これは仮定a≠bに反する。

いったいどこがおかしいのでしょうか。。

数式が見にくくてすみません。

回答No.4

whitedingo

まず、
a≠b　b→a
ということは、bはaに極限まで近づくって意味ですよね。

あと、たしかに
a≠b,b→a として、y=b,x軸,y軸,x=1で囲まれた
長方形の範囲の面積Sを考えれば、
明らかにS=b
です。
で、ここで注意しておきたいのが、
この長方形の領域うち、
f(x)=a上の面積は０ということです。
f(x)=a上ってのは単なる線だからです。
線は面積は持ちません。

だから、b→aとしても、x=aのその線上の面積は0なんだから、
その面積が０のところを足してみても
b=a
となるわけです。