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面積と格子点の問題
nを正の整数とし、領域D:0＜x≦n,0≦y≦√xに含まれる格子点の個数をN(n)とする。このとき、lim[n→∞]N(n)/n^(3/2)=2/3を証明せよ。 この問題でx=k-1とx=kの間にはさまれた正方形の個数をS_kとする。 √kとS_kを比べるとS_kのほうが大きく、その差は1以下なので、0≦α_k≦1となる実数α_kを用いてS_k=√k+α_kとおける。 N(n)=Σ[k=1,n]S_k=Σ[k=1,n]√k+Σ[k=1,n]α_k これを用いてN(n)/n^(3/2)=Σ[k=1,n]S_k/n^(3/2)=Σ[k=1,n]√k/n^(3/2)+Σ[k=1,n]α_k/n^(3/2)が成り立ちます。 Σ[k=1,n]√k/n^(3/2)=(1/n)・Σ[k=1,n]√(k/n)とかけるので、n→∞のとき、この値は∫[0→1]√xdx=2/3…… となっているのですが、なぜ∫[0→1]√xdx=2/3となるのでしょうか？ y=√xとx軸の間にある面積を出そうとしているのだと思うのですが、なぜ積分区間が0→1なのでしょうか。 x=k-1,x=kの間にある面積について話を進めてきて、Σ[k=1,n]からn→∞となればk=1,2,……,∞となりませんか？ だとしたら積分区間は0→∞となると思うのですが…。 なぜ解答のようになるのでしょうか。 わかる方がいらっしゃいましたら教えていただけると助かります。 よろしくお願い致します
- sekihoutai
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- Tacosan
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(1/n)・Σ[k=1,n]√(k/n) となるところまでがいいなら, そこからは普通の区分求積法です.
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