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お礼率 50% (1/2)

f(x)=e^(-x)*sinxについて
(1)x=kπ~(K+1)πにおいてf(x)のグラフとx軸が囲む図形の面積S_kを求めよ
(2)Σ(k=0→n)S_kを求めよ
(3)lim(n→∞)Σ(K=0→n)S_kを求めよ
という問題があるのですが、答えは
(1) (1/2)e^(-kπ)(1+e^(-π))
(2) (1+e^(-π))(1-e^(-(n+1)π)/2(1-e^(-π))
(3)(1+e^(-π))/(2(1-e^(-π)))
となるはずなのですが、どう解けば良いのかわかりますか?(1)は普通にkπ~(k+1)πで積分してみたんですけど
-e^(-kπ-π)(cos(kπ+π)+sin(kπ+π))+e^(-kπ)(coskπ+sinkπ)となりました。
申し訳無いのですが、1日の十時頃までに必要で、時間が無いのでできるだけ詳しく書いていただければ有り難いです。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

なるほど。あなたの先生はかなり英明な方だね。これはグラフの平行移動を考える問題なんだよ。いろいろな参考書で勉強しているとわかるのだが、まあ初心者だと思うので丁寧に解説します。

とりあえず解答します。

t=x-kπ  とおく。 dt=dx xの積分区間が kπ→(k+1)πのとき、tのそれは 0→π であるので、

∫(from kπ to (k+1)π) e^(-x)*sinx dx
=∫(from 0 to π) e^(-t-kπ)*sin(t+kπ) dt
=e^(-kπ)∫(from 0 to π) e^(-t)*sin(t+kπ) dt
=e^(-kπ)∫(from 0 to π) e^(-t)*sin(t) dt (☆)
(∵sin(t+kπ)=±sintじゃ。で山梨の某国立大ではf(x)=e^(-x)*|sinx|となっていた。この±がうざいからね。ていうかかなりうざいから、今からf(x)=e^(-x)*|sinx|でやるよ!!グラフは単調減少曲線で0≦t≦πで 0≦f(x)だから絶対値をはずせるんだよ!!!この辺は自分で考えてね!!!!そうそう。上式でsinxに絶対値をつけるだけでいいよ!!!!!)

{e^(-t)sint}’=-e^(-t)sint+e^(-t)cost         (1)

{e^(-t)cost}’=-e^(-t)cost-e^(-t)sint         (2)

(1)+(2)より、
{e^(-t)(sint+cost)}’=-2e^(-t)sint  なので、

(☆)式=-e^(-kπ)/2・[e^(-t)(sint+cost)](from 0 to π)
={-e^(-kπ)/2}×(-e^(-π)-1)
=e^(-kπ)×(e^(-π)+1)/2

以上だ!解説は次回!その前に誰かがやってくれるとうれしいだっぴゃ。
お礼コメント
yupunki

お礼率 50% (1/2)

すみません、終わってしまいました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-02 20:32:55
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

すいません。この問題は見たことがあるので回答は出来ません。yupunkiさんは受験生ですか?明日の十時に何で必要なのですか?それに答えるまで回答は出来ません。 ...続きを読む
すいません。この問題は見たことがあるので回答は出来ません。yupunkiさんは受験生ですか?明日の十時に何で必要なのですか?それに答えるまで回答は出来ません。
補足コメント
yupunki

お礼率 50% (1/2)

すいません。授業で発表するのでそれまでにと思い…。受験生ではないです
投稿日時 - 2002-01-31 23:52:14


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