f(x)=e^(-x)*sinxについて
(１)x=kπ～(K＋１)πにおいてf(x)のグラフとx軸が囲む図形の面積Ｓ_kを求めよ
(２)Σ(k=0→n)Ｓ_ｋを求めよ
(３）lim(n→∞)Σ(K=0→ｎ)Ｓ_kを求めよ
という問題があるのですが、答えは
(1) (1／２)e^(-kπ)（１＋e^(-π))
(2) (1+e^(-π))(1-e^(-(n+1)π)／2(1-e^(-π))
(3)（1+e^(-π))／(2(1-e^(-π)))
となるはずなのですが、どう解けば良いのかわかりますか？(1)は普通にkπ～(k+1)πで積分してみたんですけど
-e^(-kπ-π)（cos(kπ+π)＋sin(kπ+π))＋e^(-kπ)（coskπ+sinkπ)となりました。
申し訳無いのですが、1日の十時頃までに必要で、時間が無いのでできるだけ詳しく書いていただければ有り難いです。
投稿日時 - 2002-01-31 19:52:56
なるほど。あなたの先生はかなり英明な方だね。これはグラフの平行移動を考える問題なんだよ。いろいろな参考書で勉強しているとわかるのだが、まあ初心者だと思うので丁寧に解説します。
とりあえず解答します。
ｔ＝ｘ－ｋπ とおく。 ｄｔ＝ｄｘ ｘの積分区間が ｋπ→(ｋ＋１)πのとき、ｔのそれは ０→π であるので、
∫(from ｋπ to (ｋ＋１)π) e^(-x)*sinx ｄｘ
＝∫(from ０ to π) e^(－t－kπ)*sin(t＋kπ) ｄｔ
＝e^(－kπ)∫(from ０ to π) e^(－t)*sin(t＋kπ) ｄｔ
＝e^(－kπ)∫(from ０ to π) e^(－t)*sin(t) ｄｔ （☆）
（∵sin(t＋kπ)＝±sintじゃ。で山梨の某国立大ではf(x)=e^(-x)*｜sinx｜となっていた。この±がうざいからね。ていうかかなりうざいから、今からf(x)=e^(-x)*｜sinｘ｜でやるよ！！グラフは単調減少曲線で０≦ｔ≦πで ０≦f(x)だから絶対値をはずせるんだよ！！！この辺は自分で考えてね！！！！そうそう。上式でｓｉｎｘに絶対値をつけるだけでいいよ！！！！！）
{e^(－t)sinｔ｝’＝－e^(－t)sinｔ＋e^(－t)cosｔ (1)
{e^(－t)cosｔ｝’＝－e^(－t)cosｔ－e^(－t)sinｔ (2)
(1)＋(2)より、
{e^(－t)(sinｔ＋cosｔ)}’＝－２e^(－t)sinｔ なので、
（☆）式＝－e^(－kπ)／２・［e^(－t)(sinｔ＋cosｔ)］(from ０ to π)
＝｛－e^(－kπ)／２｝×（－e^(－π)－１）
＝e^(－kπ)×（e^(－π)＋１）／２
以上だ！解説は次回！その前に誰かがやってくれるとうれしいだっぴゃ。
投稿日時 - 2002-02-01 10:37:55
お礼
すみません、終わってしまいました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-02 20:32:55
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