二次関数

質問

こんばんは。高校1年生です。
よろしくお願いいたします。

二次関数y=ax^2+bx+cのグラフとx軸の共有点の個数は、二次方程式ax^2+bx+c=0の異なる実数解の個数に等しい。
この個数はD=b^2-4acの符号によって判断できる。

なぜD=b^2-4acを使うことによって個数がわかるのでしょうか。
D=b^2-4acが何なのかよくわかりません。

参考になるサイトなどありましたら教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

noname#47894 · ベストアンサー

b^2-4acは、判別式といわれるもので、二次方程式の解が、
実数解か虚数解などを判別するために使う事ができる式です。
まだ、高校1年生ということであれば、虚数は知らなくても
良いです（数学IIでやるはずです）。

ここでは、判別式が二次関数の何を表しているか？　に注意して
説明を試みます。
ax^2+bx+cを平方完成してみた事はありますか？
自分の手を動かして、実際にやってみると良いのですが

a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c

となるはずです。よって、頂点の座標は、(-b/2a , -b^2/4a+c)

となります。頂点のy座標に注意して欲しいのですが、
-b^2/4a+c　は通分すると、(-b^2+4ac)/4a=-(b^2-4ac)/4a
となります。
したがって、いま、D=b^2-4acと置き換えると、頂点は、
(-b/2a , -D/4a)　と表現できる事がわかります。
したがって、判別式は、二次関数の頂点のy座標を、-4a倍したもの
であることがわかりました。

さて、a>0 のときは、下に凸のグラフです。
D>0　であれば、-D/4a<0　よって、頂点のy座標が負の値ですから、
かならずx軸と二回交わるはずですね。したがって、共有点は２個です。
D=0　であれば、-D/4a=0　頂点のy座標が0ですから、グラフはx軸と接しますから、x軸との共有点は一個。
D<0　であれば、-D/4a>0　頂点のy座標が正ですから、グラフはx軸と
共有点を持つ事はできません。

a<0の場合も同様に説明できます。

別の理解の方法としては、
正確には数学IIで勉強すると思いますが、
二次方程式　ax^2+bx+c=0　が、複素数解p,qを持つとき
ax^2+bx+c=a(x-p)(x-q)と因数分解できます。
（この逆に、因数分解して解を求めるのはやった事があるでしょう）

ここで、二次関数の式が、y=a(x-p)(x-q)と因数分解できれば、座標
(p,0),(q,0)がx軸との共有点であることに注意すれば、共有点の
個数と、実数解の個数が一致することについて、シンプルに理解できる
と思います。数学IIを学ぶときに、思い出してみてください。

お礼

mzakitさん
ありがとうございました！
すごくご丁寧に説明していただきまして感謝しております。
手を使いながら解説をよまさせていただいたところできました！！
がんばります！！

回答No.6

kumipapa

y = ax^2 + bx + c
を平方完成して、
y = a(x+b/(2a))^2 - (b^2-4ac)/(4a)　・・・（１）
これより、グラフの頂点の座標は (-b/(2a) , -(b^2-4ac)/4a )
ここまでは良いでしょうか。
もし分らないようであれば、教科書へ。

質問のD = b^2-4ac を使って頂点の座標を書き換えると、( -b/(2a) , -D/(4a) )
ここで、a の正負と D の正負によって、グラフとx軸との交点の数がどうなるかを（簡単にでも必ずグラフを書きながら）検討する。

【　a ＞0 のとき　】
グラフは下に凸な（上に開いた）放物線である。
D＞0 ならば、頂点のy座標 -D/(4a) ＜0 であるから、グラフは２点でx軸と交わる。
D＝0 ならば、頂点のy座標 -D/(4a)＝0 であるから、グラフはx軸に頂点の位置で接する（x軸との交点の数は１）。
D＜0 ならば、頂点のy座標 -D/(4a)＞0 であり、グラフはx軸とは交わらない。

【　a ＜ 0 のとき　】
グラフは上に凸な（下に開いた）放物線である。
D＞0 ならば、頂点のy座標 -D/(4a) ＞0 であるから、グラフは２点でx軸と交わる。
D＝0 ならば、頂点のy座標 -D/(4a)＝0 であるから、グラフはx軸に頂点の位置で接する（x軸との交点の数は１）。
D＜0 ならば、頂点のy座標 -D/(4a)＜0 であり、グラフはx軸とは交わらない。

ということで、ａの符号に関わらず、Ｄ＞０ならx軸との交点の数は２、Ｄ＝０なら交点の数は１、Ｄ＜０ならx軸とは交わらない。
もし分らなければグラフを書いて考えて。

ちなみに、（１）式のb^2-4acをDに置き換えて、（１）式＝０を解けば、x = (-b±√D)/(2a)なる解の公式が得られるわけで、√の中のDの正負によって解の個数が決まることと、頂点のy座標の正負によってx軸との交点の数が決まる事とがつながる。

お礼

kumipapaさん
ありがとうございました。
１つ１つ解説を追いながらやりました。
参考になりました。

回答No.4

noname#74443

D=b^2-4acを判別式と言います。
何を判別するというと
ax^2+bx+c=0　 のxの解の数です。

b^2-4ac>0　の時は実数解が２コ
y=ax^2+bx+cのグラフはx軸と２点で交わります。

b^2-4ac=0　の時は実数解が１コ(重根)
y=ax^2+bx+cのグラフはx軸と１点で交わります。

b^2-4ac<0　の時は虚数解が２コ
y=ax^2+bx+cのグラフはx軸と交わりません。

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/discriminant.htm

お礼

20wさん
ありがとうございました！
サイト参考になりました。

回答No.3

debut

x軸上では、ｙの座標は常に０になりますよね。
だから、グラフｙ＝ax^2+bx+cもｘ軸と交わる所では
ｙ＝０なので、ax^2+bx+c＝０が成り立ちます。

さて、この２次方程式の解は、解の公式から
　ｘ＝{-b±√(b^2-4ac)}/(2a)
ですが、この解が実数なのかそうでないのかは分子の
√の中身である b^2-4ac によって決まります。
これが０以上であれば実数、そうでなければ実数でない
とわかります。
もっと詳しく言えば、２次方程式ax^2+bx+c＝０を考え
　１．b^2-4ac＞０のとき、異なる２つの実数解を持つから
　　　放物線ｙ＝ax^2+bx+cはｘ軸と２点で交わる
　２．b^2-4ac=０のとき、実数解は１つ(x=-b/(2a))だから
　　　放物線ｙ＝ax^2+bx+cはｘ軸と接する
　３．b^2-4ac＜０のとき、実数解をもたないから
　　　放物線ｙ＝ax^2+bx+cはｘ軸と交わらない
となります。

お礼

debutさん
ありがとうございました！
とても参考になりました。

回答No.2

abyss-sym

解の公式をご存知ですか？
ax^2+bx+c=0 の解は
x=(-b±√D)/2a と表されます。
D>0のとき、x=(-b+√D)/2a , x=(-b-√D)/2a の二つの解があります。
D=0のとき、解の公式の『±√D』の部分が消えて、x=-b/2a という１つの解になります。
D<0のとき、√の中が負の数になってしまいます。このとき解が、虚数になってしまいます。
xyグラフの値は実数値だけなので、虚数は含みません。なので、解をもたないということになります。
このように、Dの値から判断できます。

お礼

abyss-symさん
ありがとうございました。
じっくりよまさせていただきました。
参考になりました

回答No.1

daikaisan

解の公式をみてください。
-b ±√b^2-4ac
X=----------------------------
2
の√の部分がD=b^2-4acですね
D=0 だったら
上の解の公式の±以下が消滅して、解は1つとなりますね
b^2-4ac=0 ・・・重解　1つ

b^2-4ac>0 だったら　X=▲±√・・・となって、解は2つとなりますね。

b^2-4ac<0 だったら、解は実数でなくなり(√の中が－)
実数だけを扱えるXYのグラフ上には、実数でない数は存在しません。
なので、　解なし　０こ

かんたんにせつめいすればこういうことです。

お礼

daikaisanさん
ありがとうございました。
丁寧なご説明参考になりましたっ！