極限値は？？

質問

[問]
(１) lim_x→+∞ x*log{(x-a)/(x+a)}
(２) lim_x→0 (cosｘ)^(1/x^2)

解　(１)－２ａ
　　(２)ｅ^(-1/2)

↑このようになるみたいなんですが、
自分もロピタルの定理を使って頑張ってみました・・・・。
が、結局どんなに考えても解けませんでした。
なにか、以外に簡単に解けそうで怖いですが、ぜひよろしくお願いします。

回答No.3

joggingman

マクローリン展開を使っても解けます。

x*log{1+(-2a)/(x+a)}
x→∞のとき、(-2a)/(x+a)→0だから、
x*{(-2a)/(x+a)-(1/2)(4a^2)/(x+a)^2+・・・}
={(-2a)/(1+a/x)＋O(1/x)}
→-2a　（x→∞)

y=(cosx)^(1/x^2)
logy=(1/x^2)log(cosx)
x≒0で、cosx=1-x^2/2+・・・だから
logy=(1/x^2)log(1-x^2/2+・・・）=(1/x^2){-x^2/2+O(x^4)}
→-1/2　（ｘ→0）
よって、
y→e^(-1/2)　(x→0）

回答No.2

noname#39420

ロピタルの定理を使ったら解けるはずなんですが・・・

(1)
x*log{(x-a)/(x+a)}=log{(x-a)/(x+a)}/(1/x)
として、ロピタルの定理により分子、分母それぞれ微分すると、
{2a/(x^2+a)}/(-1/x^2)=-2ax^2/(x^2-a)=-2a/(1-a/x^2)
となってx→+∞のとき　与式→-2a

(2)対数を使う
y=(cosｘ)^(1/x^2)とおく
log y=(1/x^2)*log(cos x)=log(cos x)/x^2
ロピタルの定理により分子、分母それぞれ微分すると
(-sin x/cos x)/2x=(-1/2)*(sin x/x)*(1/cos x)
x→+∞のとき　log y→-1/2
よって
x→+∞のとき　y→e^(-1/2)

回答No.1

koko_u_

>自分もロピタルの定理を使って頑張ってみました・・・・。
できるはずですが。どんな感じでやったか補足にどうぞ。

>意外に簡単に解けそうで怖いですが、ぜひよろしくお願いします。
あなたの直感は正しいです。

# 馬鹿の一つ覚えのようにロピタルの定理に頼ってると、本当に馬鹿になるよ。