組み合わせ

質問

3種類の数字の、5つの組み合わせで、5つの和が同じ場合は同じ組み合わせとした場合、何通り組み合わせがあるか教え下さい。

回答No.3

noname#47975 · ベストアンサー

３種類の組み合わせを全て使わなくて良いというのであれば、
９５、１１５、１５０の個数をＡ、Ｂ、Ｃとおくと、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１５０－－－(1)
０≦Ａ、Ｂ、Ｃ≦５－－－(2)

となり(1)(2)を満たすときの９５Ａ＋１１５Ｂ＋１５０Ｃの取り得る値の個数を求めればよい事となる。

９５Ａ＋１１５Ｂ＋１５０Ｃ＝９５（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋２０Ｂ＋５５Ｃ

(1)より、

＝９５×５＋２０Ｂ＋５５Ｃ－－－(3)

と変形出来る。

(3)より、

０≦Ｂ＋Ｃ≦５－－－(4)
０≦Ｂ、Ｃ≦５－－－(5)

(4)(5)を満たすときの２０Ｂ＋５５Ｃの取り得る値の個数を求めればよい。

ここで、

２０Ｂ＋５５Ｃ＝２０Ｂ’＋５５Ｃ’----(6)
－５≦Ｂ－Ｂ’≦ー５　
ー５≦Ｃ－Ｃ’≦５
ただし（Ｂ’≠ＢかつＣ’≠Ｃ）
を満たす（Ｂ,Ｃ）、（Ｂ’,Ｃ’）が存在しない事を示すと、

(6)より、

２０（Ｂ－Ｂ’）＝５５（Ｃ－Ｃ’）－－－(7)

Ｂ－Ｂ’＝±１、±２、±３、±４、±５のとき、(6)より、
それぞれＣ－Ｃ’が整数にならないので矛盾する。
よって、条件を満たす各々の（Ｂ，Ｃ）に対して、２０Ｂ＋５５Ｃは全て異なる値をとる。
この事から(4)(5)を満たす（Ｂ，Ｃ）の組み合わせのみを考えて求めれば良い。

Ｂ＝０のとき、Ｃ＝０、１、２、３、４、５
Ｂ＝１のとき、Ｃ＝０、１、２，３、４
Ｂ＝２のとき、Ｃ＝０、１、２、３
Ｂ＝３のとき、Ｃ＝０、１、２
Ｂ＝４のとき、Ｃ＝０、１
Ｂ＝５のとき、Ｃ＝０

となる事から全部で２１通りになります。

お礼

どうもありがとうございます。
とても参考になりました。

回答No.5

sedai

95、115、150で考えても、5で割った
19、23、30で考えても同じ結果になります。
同じ和の組合わせが存在するならば以下が成立。
19A+23B+30C = 19A'+23B'+30C'
19(A-A')+23(B-B')+30(C-C') = 0

さらに23で割った余りを考えると
19(A-A') + 7(C-C') ≡ 0 (mod 23)
-4(A'-A) + 7(C-C') ≡ 0 (mod 23)
-5≦A'-A≦5なのでA=A',C=C'しかありません。

・・・ここまで計算してNo.4の方と
合流してしまいました。とりあえず
こんな考え方もありますということで
投稿しておきます。

回答No.4

aquarius_hiro

imaken1974さん、こんにちは。

最初意味がわからなかったですが、補足で理解できました。
面白い問題ですね。
量子統計に似ています。

答えはANo.3さんが示されていますので、別の見方を説明します。

まず5つ並べるのに、入れ物を作ります。
○○○○○
ここに、95,115,150がはまります。順番を変えたものは足した数が同じになるので、左から小さい順に並べることにして重複を避けます。
例えば、95,95,95,115,150です。

次に違う数字の間に仕切り"｜"をおくことを考えます。
95と115の間と、115と150の間に入るので仕切り"|"は二つです。
仕切りをおくことができるスペースを■の印で書きますと、
■○■○■○■○■○■
で、6つあります。
仕切りは1つの■に2つ入ってもかまいません。
例えば、95 95 || 150 150 150 の場合です。

つまり場合の数は、6個から2つ選ぶ場合の数6C2と、■に2つ入る場合の数6の和になります。すなわち、

　(場合の数) = 6!/(4!2!) + 6 = 15 + 6 = 21

がとりあえず求まります。

次に、この21通りに足して同じ数になるものがないかを調べます。
二通りの仕切りの入り方で、足した数が一致したとします。
この二通りの状況を比較し、左の仕切りがxだけ左にずれ、右の仕切りがyだけ右にずれているとすると、115-95=20,150-115=35なので、
　　20x=35y、すなわち、4x=7y
となれば、足した数が一致することができます。
ところが、4と7は互いに素でこれが成り立つ最小の自然数x,yは、x=7,y=4です。仕切りは5つしか移動できないので、これは実現しません。

以上のことから、組み合わせは21通りと求まります。

お礼

お答えいただき、ありがとうございます。
会社で誰に聞いても、わからず困ってしまいました。
お答えの考え方で他にも応用していきたいと思います。

回答No.2

codra

95、115、150だとすると
95が3つ、115が1つ,150が1つ
115が3つ、95が1つ,150が1つ
150が3つ、95が1つ,115が1つ
95が1つ、115が2つ,150が2つ
115が1つ、95が2つ,150が2つ
150が1つ、95が2つ,115が2つ
の6通りになると思います。

補足

すみません、補足します。
3つの数字は全て使わなくてもOkです。
95、95、95、95、95、95、でも、115、115、115、115、115でも
Okです。

最初の質問内容が説明不足で、勘違いされていたら
申し訳ございません。

回答No.1

abyss-sym

３種類の数字によって、確率は違ってくると思います。
例えば１,３,５のとき、(１,３,３,３,５)と(１,１,３,５,５)は同じ組み合わせになります。
しかし１,10,100のとき、上にあげたようなことは起こりません。
なので、数字によって違います。

補足

早速の回答有難うございます。
3種類の数字は、95、115、150です。
確かに、数字によって組み合わせ数は変わります。