軌跡の問題（何が違いますか？）

質問

こんばんわ。高校数IIの軌跡の問題に関する疑問です。問題と解答は問題集からの抜粋です。

＜問題＞２つの直線　ｘ+Kｙ+K＝０　Kｘ-ｙ+３＝０　の交点は、Kが変化すると円周上を動く。その円周の方程式を求めよ。

＜解答＞両式からKを求めて等置すると、ｘ≠０、ｙ+１≠０ならば、
K＝－ｘ/（ｙ+１）＝（ｙ－３）/ｘ　
-ｘ＾2＝（ｙ+１）（ｙ-３）
ｘ＾2+ｙ＾2-２ｙ-３＝０　から　
ｘ＾2+（ｙ-１）＾2＝２＾2　　但し、（０，１）は除く。

→さて、ここで質問ですが、２直線の交点の問題であり、Kが変化すると考えているので、Kに関する恒等式と考え
ｘ+Kｙ+ｋ＝Kｘ-ｙ+３　とおき式変形で　ｘ+Kｙ+K-Kｘ+ｙ－３＝０
（ｘ+ｙ－３）+K（－ｘ+ｙ+１）＝０としここから
ｘ+ｙ－３＝０　…(1)
－ｘ+ｙ+１＝０　 …(2)
(1)、(2)より連立方程式を解き、（ｘ、ｙ）＝（１，２）が交点で、その交点を通るのは（ｘ+ｙ－３）+K（－ｘ+ｙ+１）＝０という直線に思われるのですが、この直線をどう考えれば円の方程式になるのでしょうか。すっきり整理ができません。解説していただける方がいらっしゃればお願いします。

回答No.2

chomsky123 · ベストアンサー

>> x+Ky+K=0,　Kx-y+3=0　

1(x-0)+K(y+1)=0 　　(1)
Kx+(-1)(y-3)=0 　　　(2)

(1) は、定点(0,-1)を通る直線群。
(2) は、定点(0,3)を通る直線群。
さらに、２直線の直交条件、1*K+K*(-1)=0 満たしている。
円周角の定理の系、直径に対する円周角は９０度。
中心(0,1),半径2の円。
( (x-0)^2 )+( (y-1)^2 )=4
軌跡の限界の候補は、(0,3),(0,-1)
(0,3)に対しては、K=0 が存在する。
(0,-1)に対しては、Kは存在しない。

>> x+Ky+K=Kx-y+3　（３）
この変形は奇妙だが、間違いではない。
>> (x+y-3)+K(-x+y+1)=0　（３３）
この式をKについての恒等式と見て問題が解けるだろうか。
恒等式とみても良い。
その場合には単に（２,１）を通る直線群である事しか意味していない。
（３３）は、ほぼ全平面を表している。
（３３）だけでは、答はでない。
理由は、（３）において、＝０を無視している、＃１様が言っているように、
＝０　を復活させれば、答は出る。
されど、そうした方が良い、といっているのではない。
模範解答で充分のはず。

もともと、この問題は単にparameter K を消去するだけの問題である。
極端にいえば、
軌跡の限界である(0,-1)を除く事だけの問題である。

Kは単に変数とみるのが自然である。

＜２円の交点を通り、他の一点を通る円を求めよ。＞　
Ｋ＊Ｆ（ｘ、ｙ）＋Ｌ＊Ｇ（ｘ、ｙ）＝０　（４）
この問題を正しく理解していない事が、
今回の訳のわからない質問の元凶となっている。
まず、（４）と置く意味の論証を確認する。

質問するのであれば、かような回答も覚悟せねばならぬ。
自分の質問文を読み直すと良い。(x,y)= (2,1)の訂正もせずに、
再質問など、誰が回答するであろうか。

代数学の基本定理に関する共役複素数のスレッドを、
読み直すが良い。
再読すれば、欠陥質問文と判明する。

されど、再質問してよい場合もある。
三角形の面積に関するスレッドでは、かの回答者は、
居直り強盗・説教強盗である。碌に質問文も読まず、
高校生を相手に、外積を持ち出しても何の意味も無い。
回答者’は、高校の教科書から外積が消えた。
などと馬鹿げた事を書いている。
神武以来、高等学校で外積が登場した事などはない。

それに負けて反省する必要などはない。
いくら、ＨＮと言っても名前である事に代わりは無い。
ＨＮが泣いている。

お礼

ありがとうございます。

＞1(x-0)+K(y+1)=0 　　(1)
＞Kx+(-1)(y-3)=0 　　　(2)

＞(1) は、定点(0,-1)を通る直線群。
＞(2) は、定点(0,3)を通る直線群。
＞さらに、２直線の直交条件、1*K+K*(-1)=0 満たしている。
＞円周角の定理の系、直径に対する円周角は９０度。
＞中心(0,1),半径2の円。
＞( (x-0)^2 )+( (y-1)^2 )=4
＞軌跡の限界の候補は、(0,3),(0,-1)
＞(0,3)に対しては、K=0 が存在する。
＞(0,-1)に対しては、Kは存在しない。

問題の意味がよくわかりました。

補足

お手数をおかけします。

＞自分の質問文を読み直すと良い。(x,y)= (2,1)の訂正もせずに、
＞再質問など、誰が回答するであろうか。

おしゃるとおりです。訂正します。

御怒りはごもっともです。

ちなみに、
＞　＜２円の交点を通り、他の一点を通る円を求めよ。＞　
＞　Ｋ＊Ｆ（ｘ、ｙ）＋Ｌ＊Ｇ（ｘ、ｙ）＝０　（４）

↑この意味もよくわかりません。

回答No.4

aquarius_hiro

aaiukouiuさん、こんにちは。

もとの問題は、Kが変化するときに、様々に変わる交点(x,y)に関するものです。(x(K),y(K))のような関数になりますね。…(a)

ところが、

> ２直線の交点の問題であり、Kが変化すると考えているので、Kに関する恒等式と考え

というふうにしてしまうと、これは「どんなKに対しても交点になっている座標(x,y)の条件」ということになってしまいます。…(b)

この段階で、元の問題とは全く違う話になってしまっています。なぜなら、元の問題の交点一つ一つ（答えの円の上の点の一つ一つ）は、「どんなKに対しても」という条件は全く必要なく、（各点ごと違う値でもよい）それぞれ一つのKの値に対して交点になっていれば十分だからです。

つまり、Kが動くといっても、ある決まった(x,y)に対して、Kが動くわけではなく、元々は、Kの値とともに(x,y)も変わってよかったわけです。ご質問文の(1),(2)式は、前者の状況になってしまっています。

しかも、後で示しますが、そのような特殊な交点はそもそも存在しません。…(c)

> ｘ+Kｙ+ｋ＝Kｘ-ｙ+３　とおき式変形で　ｘ+Kｙ+K-Kｘ+ｙ－３＝０
>（ｘ+ｙ－３）+K（－ｘ+ｙ+１）＝０としここから
>ｘ+ｙ－３＝０　…(1)
>－ｘ+ｙ+１＝０　 …(2)

たしかに、仮に(b)のような特殊な交点が存在するとすれば、その交点は必要条件として、この(1),(2)を満たしますね。

しかし、今はそのような交点は存在しませんし、仮に存在したとしても問題で求める軌跡のうちの一部にしかすぎませんし、また(1),(2)は必要条件として導いているので、その交点以外のものも含んでしまっています。

そういうわけで、これを変形しても元の問題で要求しているものは出てきません。

もう少し具体的に見るために、(a)を求めてみますね。
ｘ+Kｙ+K＝０ …(d)
Kｘ-ｙ+３＝０ …(e)
の交点なので、(e)よりy=Kx+3、(d)に代入して、
x+K(Kx+3)+K = 0 故に、x=-4K/(1+K^2) …(f)
y=K[-4K/(1+K^2)] + 3 = -4K^2/(1+K^2) + 3 = (3-K^2)/(1+K^2) …(g)
と求まります。
これは交点(x,y)のパラメーター表示で、Kを消去して、軌跡にすれば、ご質問文の回答の式、x^2 + (y-1)^2 = 2^2 になります。
実際、この左辺に(f),(g)を代入すると、
[-4K/(1+K^2)]^2 + [(3-K^2)/(1+K^2)-1]^2
= 16K^2/(1+K^2)^2 + (2-2K^2)^2/(1+K^2)^2
= (16K^2 + 4-8K^2+4K^4)/(1+K^2)^2
= 4(1+K^2)^2/(1+K^2)^2 = 4
となり、確かに満たしています。

つまり交点の座標は、(f),(g)より
x(K) = -4K/(1+K^2)
y(K) = (3-K^2)/(1+K^2)
というふうにKの関数になっているわけです。

ここで、(c)で述べたように、特定の決まった(x,y)が、どんなKに対してもいつでも交点になるということがないことがわかります。そのような特殊な交点は、この問題では存在しません。なぜなら上のx(K),y(K)の関数で具体的に示したように、Kを変えれば交点も動くからです。

ちなみに、Kを消去しようと思ったとき、上で書いたように一旦(f),(g)式を導出してからKを消去するのは遠回りで、ご質問文の＜解答＞のやり方のほうがよいです。ここではx(K),y(K)という関数のイメージをつかんでいただくために、あえて(f),(g)を導出してみました。

お礼

ありがとうございます。
参考にいたします。

回答No.3

noname#71905

●２直線の交点は変化しますので、kの恒等式では考えられません。
　kの恒等式で考えれれるのは定点を通る曲線，直線となります。

また
(1)x＋ky＋k＝0，kx－y＋3＝0 を (2)x＋ky＋k＝kx－y＋3 とすると意味がずれてきます。
　(2)は以下のような円を表す式をすべて含むことになります。(通らない点は省略してます)
　・・・・・・・・・・・・・
　x＋ky＋k＝0，kx－y＋3＝0…(0，－1)，(0，3)を直径の両端とする円
　x＋ky＋k＝1，kx－y＋3＝1…(1，－1)，(0，2)を直径の両端とする円
　x＋ky＋k＝2，kx－y＋3＝2…(2，－1)，(0，1)を直径の両端とする円
　・・・・・・・・・・・・・
(1)はこれらの円のうちの１つを表します。
さらに、(2)はこれらすべて含む円周上の点(1，2)を通る直線となっています。

つまり、aaiukouiuさんが考えたことは
　x＋ky＋k＝t，kx－y＋3＝t (tは定数)の交点が表す円周が
　　通る直線x＋ky＋k＝kx－y＋3 を考え、
　　その直線が通る定点(1，2)を求めたということになります。
　この辺のことを、rabbit_catさんがおっしゃっているのだと思います。

参考
別解(概略を速く考えるために使うと良いかもしれません)
　x＋ky＋k＝0　→　x＋k(y＋1)＝0　kの値にかかわらず、(0，－1)を通る
　kx－y＋3＝0　→　kx－(y－3)＝0　kの値にかかわらず、(0，3)を通る
　また、２直線の傾きの積が－1であることから
　　交点は、(0，－1)，(0，3)を90°に見込む点の集合となり
　　(0，－1)，(0，3)を直径の両端とする円
　　　{ただし、(0，－1)を除く}…kx－y＋3＝0が通りません。

お礼

ありがとうございます。

＞２直線の交点は変化しますので、kの恒等式では考えられません。
＞kの恒等式で考えれれるのは定点を通る曲線，直線となります。
＞(1)x＋ky＋k＝0，kx－y＋3＝0 を (2)x＋ky＋k＝kx－y＋3 とすると＞意味がずれてきます。
＞　(2)は以下のような円を表す式をすべて含むことになります。(通ら＞ない点は省略してます)
＞　・・・・・・・・・・・・・
＞　x＋ky＋k＝0，kx－y＋3＝0…(0，－1)，(0，3)を直径の両端とする円
　＞x＋ky＋k＝1，kx－y＋3＝1…(1，－1)，(0，2)を直径の両端とする円
＞　x＋ky＋k＝2，kx－y＋3＝2…(2，－1)，(0，1)を直径の両端とする円
＞　・・・・・・・・・・・・・

＞(1)はこれらの円のうちの１つを表します。
＞さらに、(2)はこれらすべて含む円周上の点(1，2)を通る直線となっ＞ています

なるほど。すっきり整理できました。

回答No.1

rabbit_cat

＞ｘ+Kｙ+ｋ＝Kｘ-ｙ+３　とおき
この時点で、ｘ+Kｙ+K＝０，Kｘ-ｙ+３＝０　の ＝０って条件がなくなってしまっています。
というわけで、ｘ+Kｙ+K＝０てのが別に必要です。

つまり、
ｘ+Kｙ+K＝０ かつ　Kｘ-ｙ+３＝０
⇔ （ｘ+ｙ－３）+K（－ｘ+ｙ+１）＝０ かつ ｘ+Kｙ+K＝０
です。
言うなれば、aaiukouiuさんは、
＞２つの直線　ｘ+Kｙ+K＝０ と　Kｘ-ｙ+３＝０　の交点は、
＞Kが変化すると円周上を動く。その円周の方程式を求めよ。
ていう問題と全く等価な、

２つの直線　（ｘ+ｙ－３）+K（－ｘ+ｙ+１）＝０ と ｘ+Kｙ+K＝０　の交点は、
Kが変化すると円周上を動く。その円周の方程式を求めよ。

ていう新しい問題を考えたことになります。
なんで、この新しい問題を解けば、元の問題と全く同じ円の方程式が出てくるはずです。
しかし、元の問題と等価な新しい問題を考えたのはいいのですが、残念ながら、元の問題より簡単になったとは言えないかもしれませんね。

補足

回答ありがとうございます。

＞２つの直線　（ｘ+ｙ－３）+K（－ｘ+ｙ+１）＝０ と ｘ+Kｙ+K＝０＞の交点は、Kが変化すると円周上を動く。その円周の方程式を求めよ。

＞ていう新しい問題を考えたことになります。

↑どうもよくわかりません。
　イメージ的にはKの恒等式とし、（ｘ+ｙ－３）+K（－ｘ+ｙ+１）＝０ という直線を求める気がするのですが、反面、定石どおり、変数Kを消去すると円の方程式になります。この場合の直線の方程式と円の方程式との関連がよくわかりません。
再度、説明していただけるとありがたいです。