正規化された確率分布を合成する方法について

質問

正規化されたガンマ分布が二つあった場合に、これを合成する方法がないか探しているのですが、どうにもわからないので質問させていただきました。

標準分布の場合には、分散σの二乗和の平方根をとることで、合成後の分散を得ることができると思うのですが、ガンマ分布の場合は、何かいい手段はあるのでしょうか・・・?

宜しくお願いいたします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

こちらの方が分かり良いかも。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E5%88%86%E5%B8%83

ガンマ分布k,θの平均はkθ、分散はk(θ^2)
X1,X2がガンマ分布k1,θ, k2,θに従い、かつ、互いに独立であるとき、Y=X1+X2はガンマ分布k1+k2,θとなる。
従って、Yの平均は(k1+k2)θ、分散は(k1+k2)(θ^2)

平均と分散が分れば、グラフは書けると思います。

お礼

教えていただいた方法で目的が達成できました。ありがとうございました。

回答No.1

kumipapa

確認ですが、「合成」とはどのような事を言われていますか？
例えば、確率変数Ｘ1，Ｘ2がそれぞれある分布（ご質問ではガンマ分布）に従うとき、Ｙ＝Ｘ1＋Ｘ2 の分布のことを「合成」と言われているのでしょうか。

であるとすれば、

確率変数Ｘ1,Ｘ2が独立であれば、Ｙ＝Ｘ1＋Ｘ2の分散σ^2は、Ｘ1,Ｘ2それぞれの分散(σ1)^2, (σ2)^2の和となります。つまり、σ^2 ＝(σ1)^2＋(σ2)^2 です。
したがって、
「分散σの二乗和の平方根をとることで、合成後の分散を得ることができる」
というのは分散ではなくて標準偏差では？　分散は各確率変数の分散の和、標準偏差はその平方根ということになります。
なお、Ｙ＝Ｘ1＋Ｘ2の分散が、σ^2 ＝(σ1)^2＋(σ2)^2になるというのは、Ｘ1,Ｘ2が独立であればその分布が何であろうと（正規分布であろうとガンマ分布であろうと何分布であろうと）成立します。

一度、確率統計の書籍をご覧になると良いでしょう。多分、以上のような話はどの書籍でも最初の方に書かれていると思います。

私が何か勘違いしているようなら、ごめんね。

お礼

ご回答ありがとうございました。おかげさまで無事目的を果たせました。

補足

ご回答ありがとうございます。質問の意図は、Y=X1+X2の分布のことを合成と呼んでいました。また、二乗和の平方根については、確かに標準偏差ですね。

調べてみたところガンマ分布はkとθの二つのパラメータで確率密度関数が表現されるとのことで、この場合の分散はkθ^2と記載をWEB上で見つけました。(http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution)
ここで、k1、θ1で表現されるf1(x)と、k2、θ2で表現されるf2(x)という確率密度関数があった場合に、kumipapaさんのご回答のとおりに新しいf3(x)の分散(k3 x θ3^2)が求まるということですが、このとき、kとθはどのように求めればいいのかがわからないです。。。

分散からガンマ分布の確立密度関数を求めることはできるでしょうか・・・? (Excelでグラフを書こうとしているので、Excelの関数があるとばっちりなのですが)