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a^n+b^nの因数分解の仕方
info22の回答
- info22
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まず (A)n=偶数の場合は a^2=A,b^2=Bとおけば A^m+B^m (m=n/2)となりますね。 mが奇数なら (A+B)=(a^2+b^2)が因数になります。 mが偶数なら(A)の手順を繰り返します。 奇数になれば因数分解します。 kが奇数の時 a^k+b^k=(a+b)(Σ[i=1,k] a^(k-i)(-b)^(i-1)) たとえば n=2m,m=odd(奇数)の場合 a^n+b^n=A^m+B^m=(A+B)(Σ[i=1,m] A^(m-i)(-B)^(m-1)) =(a^2+b^2)(Σ[i=1,m] (-1)^(m-1)a^2(m-i)b^2(m-1)) となります。 n=4m,m=oddの場合 a^n+b^n=(a^4+b^4)(Σ[i=1,m] (-1)^(m-1)a^4(m-i)b^4(m-1)) … 参考までに a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b^2) a^5+b^5=(a+b)(a^4-ab^3+a^2b^2-a3b+b^4) a^7+b^7=(a+b)(a^6-ab^5+a^2b^4-a^3b^3+a^4b^2-a^5b^1+b^6) a^9+b^9=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^3) … a^27+b^27=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^6)(a^18-a^9b^9)+b^18) … a^4+b^4=(a^2+b^2+√2ab)(a^2+b^2-√2ab) a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4) a^8+b^8=(a^4+b^4+√2a^2b^2)(a^4+b^4-√2a^2b^2) a^10+b^10=(a^2+b^2)(a^8-a^6b^2+a^4b^4-a^2b^6+b^8) … a^30+b^30=(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)(a^8-a^2b^6+a^4b^4-a^2b^4+b^6)(a^16+a^14b^2-a^10b^6-a^8b^8-a^6b^10+a^2b^14+b^16) … 手計算では計算が面倒ですね。特に因数分解ができるか、どうかを最後まで（素因数分解できるまで）調べるのはｎの次数が大きくなると、手計算だけでなく、数式ソフトを使っても大変で、時間も掛かります。
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