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対数logの初歩的な質問です。
初歩的な質問で恐縮です。数学を忘れてしまった社会人なのですが、以下の(1)~(3)について、どなたか教えて頂けますと幸いです。 Z=X^a・Y^b(a、bは正の定数)の両辺の対数をとると、 logZ=logX^a+logY^bになるそうなのですが、 (1)これはどういう過程というかルールを経て、このようになるのでしょうか? (2)ここのlogZなどの底はeなのでしょうか? またさらにこれはalogX+blogYになるそうなのですが、 (3)これもどういう過程というかルールを経て、このようになるのでしょうか? 私が分かるのは、たとえば2^3=8というのがあれば、3=log28というくらいなので、申し訳ありませんが、数値例も交えて教えて頂けると助かります。
- viribo
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Z=X^a・Y^b(a、bは正の定数)の両辺の対数をとると、 logZ=logX^a+logY^bになるそうなのです 基本性質(とあいあえず底を2とします。) logXY=logX+logY から、 X=2^α、Y=2^β とすれば、 XY=2^(α+β) となります。 logXY=α+β logX=α, logY=β これから、 logXY=logX+logY が成立します。 このX、Yな複雑になったものが ご質問に式です。 底は何でも良い。10、2,eの場合が多い。 X=2^α のとき X^a=(2^α)^a=2^(αa) log(X^a)=αa=aα=a*logX ですね。 になるそうなのです
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- hosima
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(1)確か公式で log(ab)=log(a)+log(b) と分解できる公式がありました。 どのようにしてこれが出てきたかはわかりませんが、上の公式を使うとできます。 (2)高校の数学の教科書などでみるとそう表記されていますが、コンピュータのExcelや関数電卓などでは logのときは底が10で、eが底のときはlnと表示することが多いので、どうなのか・・・ちょっと・・・ (3)これも対数に関する公式 log(A^b)=b*logA という公式があったのでこれを使うとできます。 確かに2^3=8ならlog28=3とはなります(底は2)。ただし、例として10^2=100なら底が10なのでlog10(100)=2とはなりますが、 底がeならばe^2=5.4となり100とはなりません。loge(100)=4.605となるので底がeと10とでは全く値が異なります。 なので(2)さえはっきりすれば解けるのではないでしょうか。 高校の数学(2)、数学(3)などの教科書を参考にするといいのではないでしょうか(特に数学(2))。
お礼
ありがとうございます。エクセルに関する点についてまで教えてくださいまして、とても勉強になりました。
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- 数学・算数
お礼
ありがとうございます!とてもよく理解できました。