電位の求め方

質問

新体系物理IIIの278番の問題からの質問です。

問題は、
「球状の金属帯電体が、+Q[C]の電荷をもっている。
その中心からｒ[m]離れた球外の点Pの電位は何Vか。ただし、無限遠方を電位の基準点とし、クーロンの法則の比例定数をk[Nm^2/C^2]とする。」

で、回答が
「中心からｘ[m]離れた点における電界の強さは　E=kQ/x^2　であるから、電界がx=rからx=∞までにする仕事を求めればよい。
よって、V=インテグラル ｒから∞まで E dx=　・・・・」

となっているのですが、なぜx=rから∞までの E の積分をするのでしょうか？教えてください。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

疑問の核心は、「なぜ∞（無限遠点）まで積分するのか」ということでしょうか。

電界は、点電荷からの距離ｒの２乗に反比例します。
電位（ポテンシャル）は、電界を距離で積分すれば求まるので、点電荷のからの距離ｒに反比例して電界と符号が逆になります。
ここで問題がありまして、
ｒ＝０の地点では、電界や電位が無限大や無限小になってしまいます。
ですから、距離の基準をｒ＝０に置くことが出来ません。
かと言って、どこかの距離ｒ0 を基準にしてみたところで、結局、ｒ＝－ｒ0　の地点では無限大や無限小になってしまいます。
ですから、無限遠点における電位や電界をゼロという基準を置きます。
それが最も合理的なのです。
（なお、平面電荷の場合は、ｒ＝０での電界や電位は無限大や無限小になりませんので、ｒ＝０を積分の始点や終点にすることができます。）

回答No.1

T-gamma

位置エネルギー（P.E．）の定義ですが
「Ａに対するＢのP.E.」は「BからＡまでに保存力のする仕事」と定義します。
従って、今回は
「無限遠に対するx=rのP.E.」
を考えるので（単位電荷のもつ電気的な位置エネルギー→電位）
先の定義と対応させると
Ａ：無限遠(X=∞)
Ｂ:x=r
保存力：静電気力
よって単位電荷、つまり１Ｃの電荷をx=rから無限遠に移動させるとき静電気力(保存力)のする仕事が電位です。
したがって、
「電界がx=rからx=∞までにする仕事を求めればよい」
ということになります。
仕事は∫Ｆｄｘですから、今回はＦ＝Ｅですので、∫Ｅｄｘとなります。