- ベストアンサー
こんな重積分初めてみた…
Sn=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2・・・∫(0→1)(x1^2+x2^2+・・・+xn^2)dxn を求めなさい。 って問題です。Sの後のn、及びxの後の1と2とnは下付きです。また、全て∫の上が1、下が0です。 こんな重積分初めてみました。 考え方を教えて下さい。 よろしくお願いします。 できれば答えも教えていただけると助かります。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- n次元の体積の求め方
n次元ユークリッド空間で、 x1≧0, x2≧0,… xn≧0, x1+x2+…+xn ≦ a (aは正定数) を満たす領域の体積を考えます。私はこれを ∫(0~a)dxn∫(0~a - xn)dxn-1 …∫(0~a -(xn+…+x2))dx1 =∫(0~a)dxn∫(0~a - xn)dxn-1 …∫(0~a -(xn+…+x3))dx2(a -(xn+…+x2)) =… =a^n/n! として求めました。(http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1057646参照) n=2, 3 の場合にこれが正しいことは容易に確かめられます。自分の回答のことで無責任ですが、一般のnの場合になぜこのような積分で体積が求められるのでしょうか。また、被積分関数が1でないなら積分も必要と思いますが、被積分関数が1の場合は単なる体積です。積分を使わずにこの体積を幾何学的に直感的に説明する方法はないのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の問題の質問です
∫[0→1]{∫[0→√(1-y^2)]1/√(1-x^2)dx}dy という重積分の問題があるんですが置き換えや積分範囲の変更を変えたりしてみたのですが、どうにも答えが出せません どなたか、途中式の一部でもいいので、ヒントやアドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の変数変換について
教科書で、”M⊂U⊂R^n (M,Uともに開集合)、F(x1,・・・,xn)はR^nのある微分方程式の積分でC^1級関数で、U上で∂F/∂x1≠0とする。また、Mと積分 F=τの交わりをMτとするとM=∪[α<τ<β]Mτとなる。これらより、陰関数定理からF=τをx1について解くことができて、 ∫M dx1dx2・・・dxn=∫[α,β]dτ{∫Mτ|J|dx2・・・dxn}となる。 (∫Mは開集合M上で積分するという意味、Jはヤコビアン)” と書かれているのですが、何故、右辺の積分範囲にMτが出てくるのかわかりません。Mτというのは元々(x1,・・・,xn)という座標系で表されていた集合なので、右辺の∫Mτ|J|dx2・・・dxnというのは、Mτに対応する(x2,・・・、xn)の集合Dτ上で積分しろという風に解釈すればいいのでしょうか? どなたかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の問題なのですが
重積分の問題なのですが ∬xe^xydxdy D={(x,y) l 1/x≦y≦2, 1≦x≦2} 答えは 1/2(e^4-e^2)-e なのですが、答えに辿り着けません。 途中式の回答をお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 重積分で2ついろいろやりましたが解答と合いません
(1)領域D:0≦x,0≦y,(√x/√2)+(√y/√3)≦1 における関数yの重積分 (2)領域D:0<y≦x≦1 における関数Tan^-1(y/x)の重積分 (1)は∫(0→2)∫{0→3(1-√/2)^4} y dydxとしたのですが√2が消えません。(2)は(x)'Tan^-1(y/x)で部分積分で解こうとしたのですが全く違う答えが出てきます。 解答は3/5とπ/8-1/4log2となっています。 どうすればよいのか教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分・積分について
重積分・積分の問題です。 1 ∫[0,2π]cosmxcosnxdx (m,n∈Z) まず和積公式を使って cosmxcosnx=1/2{cos(m+n)x+cos(m-n)x}とし、 0→2πで積分して 1/2[1/m+n*sin(m+n)x+1/m-n*sin(m-n)x][0→2π] ここまでは解けるのですがここから解くことが出来ませんでした。 積分区間が0のときはsin0=0ですので考えないとしたんですが、 2πの時にするであろう場合分けが思いつきません。 ここから回答をお願い出来ないでしょうか。 また自分の回答に自信があまり無いので 以下の問題の答えを教えていただけないでしょうか。 2 d/dx(arcsinx)^2 =2arcsinx/(√1-x^2) 3 ∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1}) 被積分関数は1/{√1-(x^2+y^2+z^2)}より x^2+y^2+z^2=1上の点が特異点の広義積分である。 ここでDa:x^2+y^2+z^2≦a^2とおく。ただしa>0とする。 極座標(r,θ,ψ)を定める。 x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ とおくと Daは Ea:0≦r≦a, 0≦θ≦π,0≦ψ≦2πにうつる。 またヤコビアンはr^2sinθである。 計算は省略します。 積分すると4πa^5/5となり、 lim [a→1-0]として 答えは4π/5 でしょうか。 文章読みにくくてごめんなさい。 回答お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- DCP-J577Nの印刷トラブルについてご相談です。
- お使いのDCP-J577Nで印刷ができないというエラーが発生しています。
- パソコンとスマートフォンのOSはiPhone Xで、接続はBluetoothとUSBケーブル有線LANです。関連するソフトやアプリを使用しても印刷ができません。電話回線には接続していません。
お礼
なるほど・・・ 本当に、n=1,2,3…で様子を見るという手段は、かなり予測に 役に立ちますね(^^;) この方法、絶対に覚えておくようにします!! このよう問題って、ある意味簡単に予測できる分、上式のような証明に 近い計算が重要になってくるんですね。。。 式を眺めるだけでなく、実際に手を動かして計算する重要性を 再度確認させられた気持ちです。 ありがとうございました!!